我们先来简要介绍一下戈特弗里德·莱布尼茨。
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646—1716）是德国哲学家、博学家，也是一位伟大的思想家。他提出了诸多观点和发现，还与牛顿同时各自发明了微积分（我们高中数学所学的导数和积分）。不同的是，牛顿将微积分作为物理和化学的一种计算工具，而莱布尼茨则对科学不怎么感兴趣，甚至到其生命后期，他都不能算是一位数学家。但在符号和符号处理方面，他却是一位有着高深造诣的思想家。
下面是莱布尼茨关于算术的观点。我们想通过数字计算得出某块土地的面积，以便给出合适的价格。但数字只是一个抽象的概念，并不是实体的存在，没有质量，也没有体积。那我们如何将数字与计算联系起来呢？自然是通过符号。
莱布尼茨发现，我们每写下一个有效数字，头脑中必定是早已有了确定的系统，即特殊的十进制（基数为10）计数法。每个数字都可以用十进制计数法表示出来，当然，也可以用其他方式表示一个数字。［莱布尼茨被认为是如今广泛应用于数字计算机中的二进制（基数为2）的创始人。］最重要的是，莱布尼茨坚持认为纯粹的抽象数字（如数字“14”）与我们实际写下的具体的符号表达式（如十进制数字“14”、二进制数字“1110”、罗马数字“XIV”）之间是有差别的。
他发现，人们在计算矩形面积的过程中使用的是符号表达式，而不是单纯的数字。正如第8章所解释的符号处理过程那样，我们将表达式分别进行化简和重组，最终产生新的符号表达式。如果计算无误，不管我们求的是土地面积，还是汤米和苏济的年龄，最终结果都可以用新的表达式代表。
当然，符号表达式的核心并不在于我们必须将其写在纸上，我们也可以在脑海中完成所有计算。但是如果你的记忆能力有限的话，写下来也是可以的。
莱布尼茨想知道是否有能够覆盖切线、面积等更广阔领域的符号化的解决方案，并在此基础上发明了微积分（导数和积分）。