钦定四库全书
周易函书约存卷十三 礼部侍郎胡煦撰原古【冒道分????】
异乘同除法【泰西谓之三率】
以先有之数知今有之数两两相得是生此例莫善於异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故泰西谓之三率异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟同名布与粟为异名矣
何以为异乘同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乘是谓异乘若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先冇之二件乘除之也】
原价与今物异名以乘原物与今物同名以除泰西以原物为一率原价为二率今有物为三率以二率乘三率而以一率除之即得四率
问何以不先除後乘曰以原总物除原物总价则得每物之价以乘今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乘故变为先乘後除其理一也
三率法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与後两率之比例等故其数可以互求
【今有之二率先只冇其一合前有之二率共为三率以求之而得今冇之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】
假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乘【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】
若互用之以四率为一率三为二率则十二为三率九为四率盖十二与九之比例若四与三也
【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是】
若倒用之十二为一率九为二率则四为三率三为四率
若以九为一率十二为二率则三为四率四为三率【四九相乘三十六而十二与三相乘亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四】
若错综之三为一率九为二率四为三率则十二为四率
若以九为一率三为二率十二为三率则四为四率若以十二为一率四为二率九为三率则三为四率若以四为一率十二为二率三为三率则九为四率此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为後两率之第一而比例亦等【在前图为三与四若九与十二者此图则三与九亦若四与十二也】
若以一率除二率得数以乘三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乘三率三亦得四率九但先除後乘多有不尽之分故异乘同除为算家大法乃中西两术所同也】
笔算并法
并法即加法也千与千并百与百并俱从小数始自下而上
笔算减法
亦千与千并百与百并亦从小数始自下而上本位不足减借上位一数以减之
试加差法【凡加皆自下小数起】
有九减七减二法凡九减不论单十百千之位亦不计○位只据现有之数而合计之以九除之余者存之列于右次减总数以九除之余者存之列于左两余相比同则无差
七减有二法俱论位俱由大数以至小数一法以所加之数分积之凡首数皆作几十以七减之存其余合下数便作几十几如下有○位则此所余之数便作几十以七减之存其余方合三位之数作几十几以七减之若其末有○位不可以其余便为余数亦须作几十之数七减之其余方为所余之数记于右又从首减二行之加数以其余亦记于右又从首减三行之加数以其余亦记于右若所加之数止于三行则以三行所得之数合而七减之存其余列于右然後减总数亦自大数以至小数其○位亦如前法两余相比同则无差一法以所加之数合积之万与万积为一处以七减之以其余并千位之数减毕以其余合百位之数凡所余之数俱作十减至末位止以其余列于右中有○位皆不论矣然後如前减其所得总数相合则无差矣
试减差法【凡减皆自下小数起】
一法以减数并减余数仍得原数
一法以减余之数于原数中减之即得所减之数亦有九减七减二法九减法以减数并减余之数合而九减之以其所余者列于右次并原数亦合而九减之以其余列于左两余相比同则无误【盖必用减数减余二者然後能与原数配也】
七减法先以减数从大数始如前七减之法有○位则所余之数亦作十数视其所余者列于右然後以减余之数亦如前七减之法由大数而始递降而七减之亦列于右然後并二者之余数合为一处如过七数仍以七减之不及则并其余列于右次以原数亦如前七减之法由大数而始以七减之存其余列于左两余相比同则无误【如得数原数下冇三○则亦三余而止不可及于四余】
试乘差法【凡乘之实数由尾而起乘之法数由大者而起】
亦有九减七减二法九减法先以实数积而九减之而纪其余于右次以法数如法九减之而纪其余于左再以左右两减之余相乘得数仍九减之而纪其余于上末以所得之数亦九减之而纪其余于下两余相比同则无误若左右二方内有○即上方亦○又或左为一数即上数亦同右数皆不用乘 七减亦然【几曰十者在本位余者便在第二位】
试除差法
亦用九减七减二法九减得数记余于左法数记余于右得数与法数相乘记余于上然後以原数九减之记于下而合之
七减法先以除数【即法数】如法减之列于左次以得数如法减之列于右次以除数得数之余相乘而减之列于上然後以原数如法减之列于下两数相同知其无悞若使得数除之不尽尚有余数未除则于两数相乘之时合并所余之数而减之
试加差法
九减式试第一式先减散数去○与九不入减【□本不入
数九在减内故不入】并四七【此处除九】五
八八六七八八六一五共
为七十三九减余一【减去八九七十二】列
□左○次并总数三二七七共为
一十九九减余一【减去二九一十八】列□右左右相比数同无差通曰此以见数为主不论千百位也
七减式试第一式散数首行之左一○作一十七减余
三次作
三十六
七减余一【减五
七三十五】次作一
十五七减余一【减二七一十四】次作一十四七减无余右下纪○次行左八九作八十九七减余五次作五十七减余一次作一十七七减余三右下纪三【三行余五四行余五】三行依法减余五俱纪右下再以各行纪余○三五五并为十三【此合数也】七减余六乃以总数依法减之余六左右列比无差
试减差法
九减式试第一式先并减数四二及减余二三一三共
为一十五九减余六次并原数
二七一五为一十五九减余六
左右列比无差
通曰九减用实积数亦可盖九数无往
不合故也【此二七一五减四二者】
七减式试第一式先以减数之左四○作四十七灭余
五次作五十二七减余三
又以减余之左二三作二
十三七减余二次作二十一七
减无余次三不足减仍余三【不足】
【在末不必作十】三俱纪右下乃以各数纪余之三三并为六不足减仍作六再以原数之左二七作二十七七减余六次作六十一七减余五次作五十五七减余六左右列比无差【此二七一五减四二者】
补乘法
术曰乘即因也用九因法上列原数【即实数】下列乘数【即法数】齐於右尾算即始右将下一位遍乘上诸位向左逐位纪所乘数於下尽下数乃止诸所纪为散数用加法得所求总数若定总首为何数从乘数左首推至总数左首即知
通曰凡以下乘上一数有二位左十右零右即本位也遇十有数而零亦有数者曰平【三四一十二四四一十六之类】本位纪零数左位纪十数遇十有数而零无数者曰足【五四得二十五八得四十之类】本位纪○而其数纪左位也遇十无数而零有数者曰如【一三如三二三如六之类】左位纪○而其数纪本位也旧法纪数每并为一令人难晓凡原尾有○而乘尾无○者虽○亦乘之以存其位乘尾有○而原尾无○者即自乘数之有数位乘起若上下尾与中或俱有○者亦须乘之以存位下数乘上○下○乘上数皆曰某○如某下○乘上○曰○○如○则本位左位俱纪○也
十因
式乘上下数不等少数尚未满十乘数而少数不及於乘上下数如以八乘九何以得七十二术九在十内少一纪一於九右八在十内少二纪二於八右是九八为乘上下数一二为少数也上九下八上下数不等也一
不及九二不及八少数不及也以少数一二相乘得二【此即七十二之二也呼一二如二】纪下二未满十故曰未满十乘数也又以右一斜减左八右二斜减左九俱余七数【此即七十二之七】同下纪七故得七十二
又式乘上下数等少数未满十乘数而少数不及於乘上下数如以八乘八何以得六十四术上下俱八故曰上下数等八在十内少二右俱纪二相乘得四下纪四左右上下斜减俱余六
下纪六故得六十四
又式乘上下数等少数已满十乘数而少数反过於乘上下数如以三乘三何以得九术上下俱三三在十内小七右俱纪七相乘得四十九已有四十故曰已满十乘数也下纪九纪四於左左上下三各加所?四俱变
为七然後左右斜减俱无余【七与七减也】下纪○故得九
又式乘上下数不等少数满十乘数而少数不及於乘上下数如以六乘七何以得四十二术七在十内少三六在十内少四俱纪右相乘得一十二下纪二?一於左左上七加一变为八下六加一变为七然後左右上下
斜减俱余四下纪四故得四十二又术三乘四得一十二将一悬於左待左右上下斜减俱余三乃并所悬之一为四亦合
通曰一二之乘得八九之乘是以小乘而得大乘也七七之乘得三三之乘是以大乘而得小乘也九因本乎【卜因即洛书之无十而藏十也】
试乘差法
九减式试第二式四千六百零八人每人三百二十五两共得一百四十九万七千六百两也除○九外并原
数四六八为一十八九减无余
列○於□左并乘数三二五为一十九减余一列□右以左右一与○乘
曰一○如○无数列○於□上并总数一四七六为一十八九减无余列○於□下上下相比无差
七减式试第四式四十五人每人六十两共得二千七
百两原数如法减之【减六七四十二】余
三列□左乘数如法减之【减七八五】
【十六】余四列□右以左右三四乘得一十二七减余五列上总数如法减之余五
列下上下相比无差
通曰九减用见数可去○九不用七减用实积数必存○九之位与数以便逐位减至右未而止也
试除差法
除无余九减式试第一式三百四十二两九人分之各
得三十八两除数九九减无余
左列○并用数三八为一十一
九减余二右列二乘无数列○於□上
并原数三四二为九九减无余列○於□下上下相比无差【下有余实一五未分】
除有余九减式试第五式六百五十三两五十八人分
之各得一十一两并除数
五八为一十三九减余四
左列四并用数一一为二不足九
减右即列二乘得八【二四如八也】又并余实一五为一十四九减余五列上并原数六五三为一十四九减余五列下上下相比无差
除无余七减式试第一式三百四十二两九人分之各
得三十八两除数九作九七减
余二列左用数三八作二十八
七减余三列右乘得六【二三如六】不足七减
即列六於上原数三四作三十四七减余六次作六十二七减余六列下上下相比无差
除有余七减式试第五式六百五十三两五十八人分
之各得一十一两除数五
八作五十八七减余二列
左用数一一作一十一七减余四
列右乘得八【二四如八】又以余实一五作一十五七减余一以此余一并左右所乘八为九七减余二列上原数六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列上原数六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列下上下相比无差
半除试差式除数六五用数一三原数八六六三余实
二一三○用九减并除数六
五为一十一九减余二列左
又并用数一三为四不足九
减右即列四乘得八乃并法
尾止处以前之余实二一为三不足九
减即以此三并左右所乘八为一十一九减余二列上并原数抹去三位之八六六为二十九减余二列下上下相比无差○用七减除数六五作六十五七减余二列左用数一三作一十三七减余六列右乘得一十二乃以法尾止处以前之余实二一作二十一七减无余与左右所乘数相并仍是一十二七减余五列上原数抹去之八六作八十六七减余二次作二十六七减余五列下上下相比无差
通曰试策之法独用九七何也盖十者数之穷也数穷则变十复为一故数始於一终於九九阳数也下九之阳数为七故七与九同用自七九而外或有合者於率不通不可立法所以加减试差用实积则无不可用见数则七与五不可也乘除试差用实积则亦无不可用见数则自九而外皆不可也若夫论除之余六与三之余同九是用九而六三可无用矣四与二之余用八是用八而四二之余可无用矣且八或可以试加减而或不可以试乘除亦不可用然则试差之法舍七与九又何所取用哉
命分法
术曰命分者一大几何已分几何命余者为几何分之几何也又曰所余之小几何再分几何命此得者为几何分之几何也通曰第一术即几何原本之命比例法也第二术恰尽则可否则终不能尽也
式法数为母余数为子如实数八万七千二百四十八法数三百七十四法尾已齐实尾用数已得二三三尚有余实一○六当命为三百七十四分之一百零六也又式得数为子得数前位为母得数一位为十二位为百三位为千也如右式余实一○六先於六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也当命为千分之二百八十三也
尺算
法尺之式上连下分下则可开可合上则相对不移如此乃可为法
两端变为三角因参知两勾股矩度直景倒景盖同一源加实尺於法尺之上谓之三角可也谓之勾股可也天地间无非参两之妙虽百千万亿至於无穷胥莫能逃矣
乘法
先定实数法数与他算不同既定乃以法数作法尺何数实数作实尺何数或寸或分又须预定然後将实尺比照实数横安于法尺之一分或一寸上令法尺开而就之随量法尺之法数空处得何数即为所求数也通变升降其用始广如实尺数大不便安放者须降实数寸降为分分降为厘或将实数折半法实俱大必须俱折先降後升先半後倍得数原无异也或用升法以代降实
式有五人每人四两问共若干曰二十两
以四两为四分作实数以五人为五寸作法数将实尺比定四分横安于法尺一寸空处乃量法尺五寸空处得何数今得二寸因以分为两则寸即为十知所得二寸为二十两
降数式有五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两
以八两为八分作实数以五十九人作五寸九分为法数用实尺比定八分安于法尺一分上八大一小不可安放乃降十倍安於法尽一寸空处量法尺五寸九分空处得四寸七分二力先降後升应升为四尺七寸二分原以分为两故知所得四百七十二两此系升法以代降实
实数折半式有八人每人一十二两问共若干曰九十
以八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分原以分为两是为四十八两先半後倍倍得九十六两也
法实俱折半式有一十六人每人一十二两问共若十曰一百九十二两
以一十六人折半得八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两因法实俱折半故再倍之也
实数再折式八人每人二十四两问共若干曰一百九十二两
以八人作八寸为法以二十四两折半得一十二两又折半为六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六再倍之得一百九十二再折故再倍或将实三分之得数三乘之亦可
法实俱再折式三十二人每人二十四两问共若干曰七百六十八两
以三十二人折半得一十六人又折半得八人作八寸为法以二十四两折半得一十二两又折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两再倍之得三百八十四两再倍之得七百六十八两四其折半故四其加倍如以四自乘得十六又乘四十八亦合
整零截量式二十四人每人五钱三分问共若干曰一十三两七钱二分
以二十四人作法尺二寸四分以五钱三分作实尺五分三厘先截整数二十人求之将实尺比定五分三厘安于法尺一分空处实大不便安顿降之安于法尺一寸空处将五分三厘升作五寸三分此为十人所得数倍之得十寸六分便是二十人所得数也後截零数四人求之量法尺四分空处得二分一厘二毫亦升作二寸一分二厘便是四人所得数并两得数得十二寸七分二厘为二十四人所得总数因以尺之厘为银之分故知为十二两七钱二分
又术以二十四人作法尺二尺四寸以五钱三分作实尺五分三厘将实尺比定五分三厘安于法尺一寸空处得五寸三分倍之得一尺○六分为二十人所得数又于法尺四寸空处量得二寸一分二厘并得一尺二寸七分二厘亦合所截为二十人故加倍若三十人则用三乘四十人则用四乘之
除法
法实数定之後将实尺比定实数安于法尺之法数空处乃量法尺之一分或一寸空处得几何即为所求除出数也亦用降数折数二法或有实无法任意作几分者不论实数多寡将实尺比数安于法尺之百分空处用随分量之
式银二十二两四十人分之问各得银若干曰五钱五分
以二十二两作二寸二分为实以四十四人作四寸四分为法将实尺比定二寸二分安于法尺四寸四分空处乃量法尺之一分空处得几何今得五厘因以尺之分为银之两则厘当为钱又因以分为人则五钱为一人所得数也 量一寸空处得五分降为五厘亦合一分为一人一寸则为十人量四寸空处得四十人银数四分空处得四人银数此用乘以知除也
降数式银四十四两二十二人分之问各若干曰二两
以四十四两作四寸四分为实以二十二人作二寸二分为法将实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分上实大不可安顿降为四分四厘安于法尺二寸二分空处乃量法尺一分空处得二厘因先降数此当升为二分分为银之两知所得为二两
折实式一十八两六人分之问共若干曰三两
以一十八两折半得九两作九寸为实以六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘因降实此当升为一寸五分又因折实此当倍为三寸以寸为两故知所得为三两
法实俱折式一十八两一十二人分之问各若干曰一两五钱
以一十八两折半得九两作九寸为实以一十二人折半得六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘因降实当升为一寸五分寸为两知所得为一两五钱法实俱折者除与乘不同乘折则所得止半数故须倍之除折则所得即所求数故不必又倍
随分式银八十两或四平分或五平分问各若干曰四分之一得二十两五分之一得一十六两
以八十两作八十分为实将实尺比定八十分安于法尺百分空处如欲作四平分者则量法尺二寸五分空处得二十分每人即得二十两也如欲作五平分者则量法尺二寸空处得一十六分每人即得一十六两也 二寸五分者四分百之一也二寸者五分百之一也
整零截量式三十二两五人分之问各若干曰六两四
以三十二两作三尺二寸为实以五人作五寸为法先截实末二寸求之将实尺比定二寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得四分後截实首三尺求之将实尺比定三尺降作三寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得六分应升为六寸并前四分得六寸四分以两为寸知每人得六两四钱 後量法尺之十寸空处得六寸亦合此不升数而升度也
比例法
有实数於此以某法数分之得某数今又有实於此照前分例求法几何将实尺比前尺数安法尺之前法数上又将实尺比後实数於法尺空处上下推移求至脗合处视法尺之分寸几何即所求数也比类无穷不可胜举引而伸之存乎其人
银四百四十两二百二十人分之人得二两今有银
八百八十两照前二两分数该人几何曰四百四十人
以二百二十人作二寸二分为法将四百四十两作四寸四分为实以实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分土实大降作四分四厘安于法尺二寸二分空处又将八百八十两作八寸八分亦降作八分八厘以实尺比定八分八厘于法尺空处上下推移至四寸四分空处适合以寸为百数即知为四百四十人 前後俱降实故不升且前以人为法银为实後亦以银为实求出法数人降实则不升法也
式银三两给六人今有银七两照前例应给几人曰一十四人
以三两作三寸为法以六人作六分为实将实尺比定六分安于法尺三寸空处乃量法尺七寸空处视得几何今得一寸四分以分为人即知所得为一十四人也 又术以三两作三分为实以六人作六分为法将实尺比定三分安于法尺六分空处又将实尺比定七分在于法尺空处上下推移至法尺一寸四分空处适得脗合一寸四分即一十四人也法实可互更乘除可互用此尺算之异于他算也凡求得数皆以例比即乘除亦无非比例故比例以尺为便
筹算
珠算笔算皆有数而後乘筹算无数而先乘也故乘以筹为捷数尽九九除亦因乘故随时施用所遇数更而先乘之数亦变多寡前後相合自成至若零筹无数又无用之用也【零筹多置几根】
开方筹
筹有二曰平方自乘之还原也故用自乘之数曰立方自乘再乘之还原也故用自乘再乘之数
术曰有实有法先将实数查筹从左向右齐列其两筹每格平行线斜方形合成一位并为一数矣或前位有数或後位有数皆一位也或两位皆有数则合为一数次以筹之格为法数如法数是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之再用笔算加法得所求数乘除皆有法实实者现有之物也法者今所用以乘之除之之规则也凡筹算皆以实列位而以筹为法法有几位则用几筹中有零位则用○筹有几○位则用几○筹凡法实不可误用唯乘法或可通融若除法必须细认
凡乘法皆於实末位小数起视原实某数即於筹某行取数列之
一位法式五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两
以五十九人为实八两为法先依实数查第五筹第九筹五左九右并列次依法八查第八格内横数曰二曰七○曰四去○不用自左向右横视之得四百七十二两也得数尾与法尾数同故知为两
二位法式五十四人每人六十四两问共若干曰三千四百五十六两
以五十四人为实六十四两为法依实查五四两筹齐列先依法尾四查第四格曰六曰一○曰二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三进一位横列之用笔算加法得三千四百五十六两也多位法者视此每查格一囘进一位列数此横列之法故从右起梅定九竪列之则应自下而上矣九格内凡遇右尾有○必须列之以存位其○在
数中者说详後式
【并 二一六法三二四】
【得数】三四五六
如一年三百六十日每日一十二时问共几何答曰四千三百二十时
法列一筹二筹看六三两位六位为七二三位为三六合并得四三二
定位法从末位起知未位是十上一位便是百又上一位便是千也若末位是单上一位便是十
二
一
三筹为法式如每岁三百六十五日每日九十六刻该刻几何曰三万五千○四十刻
法列三六五三筹看九六两位六位二一九九位三二八五因六位二一九下有一○则存之以存刻位筹内斜方有○无数式五十四人每人二十八两问共若干曰一千五百一十二两
以五十四人为实查筹并列二十八两为法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格曰八曰○曰一进一位列之加得合问○斜方之中有数有○则去不用若无数有○则须存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也
筹内斜方并数进十式有八十七人每人六两问共若干曰五百二十二两
以八十七人为实查筹并列六两为法查六格曰二曰四八曰四其曰四八者并为十二本位存二以十进位作一其曰四者并所进之一为五当自右向左列曰二二五矣自下而上者亦然若自上顺数之则为五二二
法尾有空式如每年三百六十日今三千八百三十年问日该几何曰一百三十七万八千八百○日此因所问止及十数未及单位之日故法尾存单位为日法列三六两筹而後加一○筹先看三位为一○八次看八位进一位为二八八又次看三位又进一位为一○八并之得一三七八八下有○○方至单位但知尾位一圈是单日则各位皆定
实尾位有空式如一十二万日每日九十六刻该则几何曰一千一百五十二万刻法置九六两筹看一二两位二位为一九二一位为○九六因一位上有一圈故必存○位于上然所问为每日则日为单位而所问实止於万则千百十单必须存四空位方能及於单日用零筹式六百零八人每人三十四两问共若干曰二万零六百七十二两
以六百零八人为实查六筹零筹八筹并列三十四两为法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四曰二○曰八曰一进一位列之加得合问
实数整几十者列一零筹于右整几百者列二零筹于右以定位也
除法【即商法】
术曰有实有法有商别列实数以法数依号查筹从左向右齐列于诸筹九格内查横行数之等于实数或略少于实数者在第几格即是初商数如在第一格即一为初商也次以查得之数减其实数已尽则止一商如未尽则有再商即再查横行内数之等于存实或略少于存实者在第几格即是再商数又以查得之数减其存实如前又未尽则更有三商倘再商已除实虽未尽而次位无实则商有○位即作○以当次商再以存实于格内查之若至余实数少于法数是为不尽法当命分之
凡除以所分之物为实今欲作几分分之为法法与实须审定不可倒置如有粮若干给若干人则当以粮为实以人之数为法除之盖粮数是所分之物人数是用以分之之法也
凡书商数皆与减数第一行相对若所减第一位是○则?作○于原实首位上而对之此定位之根也定位法除毕以商得数与原实对位求之皆如法首位之上一位命为单数【归於法前得零古法实如法而一是也】然此有二法有法少实多者从原实内?法首位认定逆转上一位命为单数【如米则为单石钱则为单文】既得单数则上而十百千万下而分秒忽微皆定矣此为正法有法反多而实反少者乃变法也法从原实首位逆遡而上至法首位止又上一位命为单数【此是虚位借之以求实数】既得单数乃顺下求之命所得为分秒之数
一位商式三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两
别列三百二十五两为实以六十五人为法查六五两筹左右齐列何格数与实相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二五适等即五为商数也
如太阳每岁行天三百六十度分为七十二候每候几何度曰每候五度此欲分七十二分当以七二为法用两算
先列三百六十度为实次检七二两筹为法视何格内有三六○与相同今在五格则商作五又查所减第一位是三将商数五对三字书之此法少于实也宜于原实内?十度位即法首位也法首再上一位为单度定所得为五度
假令实是三千六百则所得为五十度此亦法少于实法亦于原实内?法首十位再上一位为单位单位空?作圈再上一位是十度定所得为五十度用筹同而得数迥异定位之法所以当明
二位商式三千三百二十五两九十五人分之问各若干曰三十五两
列三千三百二十五两为实九十五人为法列筹二筹横数止三位须截实上三位曰三三二作三百三十二於格内查之至三格自左向右曰二八五【中位一七并八】作二百八十五略少於实数四格则多矣用三为初商相减余四十七再以余实四七及截外之五作四百七十五查至五格四七五【二五并七】适等用五为次商
如皇极经世一元共十二万九千六百年分为十二会共几何曰每会一万○八百年
如图列实检一二两筹第一行是○一二商作一数除实一二尚余九六至第八行得○九六商作八恰尽又因所减数是○一二故于实首位?作圈而以商得一对此商位书之此定位之根次所减亦是○九六故以商得八进位书之以暗对其○因法以十为首则十字之上方是单位数至一恰当万也
三商式如有水轮每日共转二千二百四十四周一日十二时每时几何转曰每时一百八十七此亦欲分为十二也故用一二两筹检筹第一行是○一二商一减实一千二百余一千四十四次检筹第八行是○九六商八减实九百六十余八十四末俭筹第七行是○八四商七法以十为首则十上一位为单数初商数对所减筹第一位因初商是○一二故遂以一字对书之商当有○式三十二万三千八百七十六两五百三十八人分之问各若干曰六百零二两
列实查筹三筹横数止四位截实左四位曰三二二八作三千二百二十八查至六格自左向右曰三二二八作三千二百二十八畧少于实数七格则多矣用六为初商相减余一十以余实一○及截七六作一千零七十六此乃次位无实也次商当作○竟不除实余实仍是一千零七十六查至二格一零七六适等用二为三商 若次位三位俱无实者即一连两商皆当作○
法有○位式假如布二万一千七百六十八丈给与九百○七人各几何曰每人二十四丈此欲分为九百○七分也故以九筹○筹七筹为法检筹第二行一八一四商作二盖一格本少自二格以下皆多唯第二格略少于实数故商二减实一万八千一百四十尚余三千六百二十八丈减至第四三六二八恰尽故又商四因法首是百故百上为单位知为二十四丈以上皆法少於实故法首在原实中乃本位也
法多实少式【即除分秒法】假如银五百一十二两给六百四十人各若干曰每人八钱解曰凡不能成一单数者皆分秒也故斤下有两两下有钱钱下有分分下有厘厘下有毫零以两为主以两为主则两为单位而钱为两十之一八钱即十分两之八此欲分为六百四十分也故以六四两筹为法检筹第八行恰尽故商八又所减首位不空故商数对之定位法曰此法多于实也?法首位百逆上一位是两二位空则知是钱
又式如饥民四十八万口赈米三千六百石各得若干曰每口七合五勺此人分米也故以四十八万为法列四八两筹检筹第七行是三三六初商七余二百四十石次检筹第五行是二四○次商五恰尽定位法于原实内?法首位而原实内无十万只有千虚进一位?万又进一位十万十万者法首位也再上一位得零是单石石位○顺下斗升俱○知所得为七合五勺以上两例皆法多于实者其法首位或在原实中必原实首位也或不在原实中则于其原实上几位也要之皆不能满法其所得必为分秒
法多实者实乃零数法乃整数假如有银四百五十六两而千百十人分是也
实多法者法乃零数实乃整数假如有银四百五十六两而有二三十人分也
法首位者法首位之数也若法首是十即于实之十位上为法首位若法首是百即是实之百位上为法首位法首位上一位是单者如实之十数是法首位而十上之百数位即为单位也实之百数是法首位而百上之千即为单位
实不尽式二千三百三十六两九十五人分之问各若干曰三十五两余实一十一两
列实查筹二筹横数止三位截实左三位曰三三三查至三格自左向右曰二八五略少于实数用三为初商相减余四八以余实四八及截外六作四八六查至五格四七五略少于余实用五为次商相减尚余一十一为不尽数也
开平方法
术曰有积数【即实数】有商数商有方法有廉法【倍初商】隅法【次商】置积数从末位下作点向左隔一位作一点有一点知有一商也视平方筹内自乘之数与实相等或略少者取以除实但自左一点为始【此谓横列者若上下列则从上始】点前无位则自乘止於零数点前有位则自乘应有十数而此乘数在筹内第几格即用其格数为初商也有二点者以初商倍之乃以倍数查筹列于平方筹之左再视诸筹横行内数与存实相等者用以除实而此实在几格即用为次商法不尽者以法命之或实右加○再开之
开方有实无法故用方廉隅以代之初商积与次商隅积皆自乘数也次商廉积之数处初商与隅积之间也
第一点求初商之根为方法乙为方
积也不尽求二点之商倍初商根为
廉法甲丙两长边也隅法丁方一角
也此甲乙丙丁为平方二商之形如
三商则加戊已廉及庚隅也
积三万二千○四十一平方开之问边得若干曰
一百七十九 别列积为实从末位一下作点向左隔一位○下作点三下作点共得三点知商有三位也点左无实【横言左竪言上】三作零数视方筹内自乘无三近少为
一平行取一为方法为初
商乃于实三内减去一格
自乘之一存二以共次点
实曰二二○为余实次倍
初商根得二为廉法【倍一为二】取二号筹列方筹之左于
两筹横行内求二二○无
则用近少者一八九在第
七格即七为次商为隅法
乃以一八九减余实二二
○余三一以共三点之实
曰三一四一为次商余实
再倍初次两商之一七得
三四【初商一作一十次商七共为十七倍为三】
【十四】为次廉法乃去次商所列之第二筹又取三号四号两筹自左向右俱列方筹之左于横行内求三一四一在第九格即九为三商为次隅法减实无余即三次所商为平方边一百七十九也
开立方法
术曰有积数有商数商有方法有平廉法长廉法隅法置积为实从末位作点向左隔二位作点每一点有一商视立方筹内再乘之数有与实相等或近少者用以除实也但自左一点为始点前无位则再乘止于零数点前有一位则再乘应有十数点前有二位则再乘应有百数而此乘数在第几格即用作初商也有二点者以初商自乘而三倍之为平廉法以初商三倍之为长廉法却以平廉法数查筹列立方筹左以长廉法数查筹列立方筹右乃视左筹与方筹之横行内数查其或等或少于余实者取格数为约数即以此为次商以次商自乘之数与长亷法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其余实即得立方边也不尽者依法命之
其一作六面方体诸面线角皆相等此名方法体成甲乙丙丁形
此初商形也凡边皆初商之数
其二作六面扁方体其上下面各与方法等旁四面之高少于方法之高而四棱线皆等此各平廉法体成戊己庚辛形
其三作六面长方体其上下左右四面与平廉之旁面等两端之四界线皆与平廉之高等此名长廉法体成壬癸形其四作六面小立方体六面之广袤皆
与长廉之两端等此名隅法体成子丑形
通曰右三形皆次商形也三四商者亦如此三形增之
後边长廉之下
尚有一平廉
通曰初商方根次商上加一平廉左加一平廉後加一平廉故三倍初商之自乘为平廉法也上与後之边齐右加一长廉上与左之边齐前加一长廉左与後之边齐下加一长廉故三倍初商为长廉法也上与左与後三角加隅法而立方形成矣
积九百二十一万九千三百二十九立方开之问
边得若干曰二百零九 别列积数为实从末位九
下作点向左隔二位作点
凡三点知商有三位也点
前无实则实前九为零数
视立方筹内再乘之数无
九三格二七过实用二格
八实之近少数也即取二
为方法为初商九内减八
存一以共次点之实曰一
一二九为余实将初商二
自乘得四又三倍得十二
为平廉法取一号二号
两筹列方筹左又将初
商二三倍得六为长廉
法取六号筹列方筹右
乃于立方与平廉共三
筹内之横行数取其少
于余实者为约数视筹内无近少数即第一格之一二○一亦多于余实之一一二九遇此则知商有○位矣竟于初商下作○以当次商而实数不动复开第三点之实一一二九三二九将初次两商之二○【此作二十】自乘之得四○○【此作四百】又三倍得一二○○【此作一千二百】为次平廉法乃取一号二号○○○号之四筹列方筹左而去次商所列之平廉两筹又将初次两商之二○【此作二十】三倍之得六○【此作六十】为次长廉法取六号○号两筹列方筹右而去次商所列之长廉筹乃于立方与次平廉共五筹内之横行数取其少于余实者为约数至第九格曰一○八○七二九另立之向立方筹右平行取九格内平方之自乘数八十一以乘次长廉六○【此作六十】得四八六○【此八十一囘六十也】进一位列约数一○八○七二九之下相并得一一二九三二九以此数除余实之一一二九三二九恰尽乃以约数之格数九为三商也三次所商曰二曰○曰九是谓立方根二百零九也通曰长廉筹止
用其号数格内诸数皆
无用即不列筹而止列
数亦可开方宜入少广
章因有此二筹故亦附
於此
周易函书约存卷十三