钦定四库全书
皇朝文献通考卷二百六十五
象纬考【十】
月食【下】
御制历象考成上编论月食
【臣】等谨按考成上编论月食甚详且绘图系说兹弗克具载仅録其要焉
定食限以距交度
太阴半径与地影半径相切即入食之限故以两半径度相并之数当黄白两道之距纬度而求其相当之经度得距交一十一度一十六分四十五秒为必食之限距交一十二度一十六分五十五秒为可食之限盖必食者无不食可食者或食或不食也二者皆实朢之限若论平望其限尤寛得距交食一十四度五十四分即为有食之限矣定月食分秒以并径求
月食分数之浅深视黄白距纬之多少距纬愈少太阴心与地影心相去愈近则太阴入影愈深故用太阴半径地影半径相并而与距纬相较并径大於距纬之较即为月食之分若并径小於距纬则月不食若太阴恰当交点而无距纬则并径全为食分为月食之最深也但太阴与地影之半径分秒皆系弧度而论食分则以太阴全径直线计之其法命太阴全径为十分以太阴视径分秒与并径距纬之较之比【无距纬者即以并径为比】同於太阴全径与食分之比也
定五限时刻以距纬半径自行求
月食五限一曰食甚乃月入影最深之限也一曰初亏月将入影两周相切也一曰食旣月全入影其光尽掩也是二者在食甚前一曰生光月将出影其光初吐也一曰复圆月全出影两周方离也是二者在食甚後月食十分以上者有五限十分以下者止三限无食旣与生光也其时刻之多寡则由於入影之浅深过影之迟速盖距纬有寛狭寛则入影浅而时刻少狭则入影深而时刻多又月与影之半径各有小大月大影小则过影速而时刻少月小影大则过影迟而时刻多抑且自行有迟疾迟则出影迟疾则出影速故虽距纬同半径同而自行不同即时刻亦不同也其食甚前後各限相距之时刻恒等而食甚又非实望之时所差虽微而理则实异夫地影之心即太阳正对之点地影心距交之黄道经度与月心距交之白道经度等是为东西同经即为实望然月心与影心斜距犹远惟从白极出弧线过影心至白道与白道成直角月心临此直角之点乃为食甚盖惟此时月心与影心相距甚近食分最深也
定初亏复圆方位四象限以交角求
旧定月食初亏复圆方位距纬在黄道北初亏东南复圆西南在黄道南初亏东北复圆西北食八分以上则初亏正东复圆正西此东西南北主黄道之经纬言非谓地平经度之东西南北也惟月实行之度在初宫六宫初度望时又为子正则黄道经纬之东西南北与地平经度合否则黄道升降有斜正而加时距午有远近故两经纬迥然各别而所推之东西南北必不与地平之方位相符不如实指其在月体之上下左右为衆目所共覩乃为亲切也其法从天顶作高弧过月心至地平即分月体为左右两半周又平分为上下两象限即成左上左下右上右下四象限而黄道在地平上之半周亦平分为东西两象限乃於初亏复圆二限各求其黄道交高弧之角若月当黄道无距纬而交角满九十度则初亏正左复圆正右在黄道西象限而交角在四十五度以上初亏左稍偏上复圆右稍偏下交角在四十五度以下初亏上稍偏左复圆下稍偏右在黄道东象限者反是若月在交前後有距纬则又须求得纬差角与高弧交角相加减为定交角然後可定其上下左右也加减之法月距黄道北而在西象限初亏为加复圆为减在东象限初亏为减复圆为加月距黄道南者反是乃视定交角为相加者在九十度以内则亏复之上下左右如前论若过九十度为钝角则易象限之上下又或定交角为相减者而交角内减去差角则亏复之上下左右如前论若差角内减去交角则易象限之左右也
定见食先後以子午线
月食深浅分数天下皆同而亏复各限时刻不同者非月入影有先後乃人居地面有东西也盖日之所之为时随人所居各以见日出入为东西日中为南为子午而平分时刻故其地同居一子午线者虽南北悬殊【北极出地高下不同】而时刻不异若东西易地虽北极同高而西方见食必先东方见食必後也凡东西差一度则时差四分今以京师为主视各省之子午线在京师东者以时差加在京师西者以时差减皆加减京师各限时刻为各省各限时刻也是故欲定各省之时刻必先定各省之子午线而欲定各省之子午线非分测各省之月食其道无由也
御制历象考成後编论月食
【臣】等谨按考成後编论月食推步法与上下编有异并绘图系说兹亦録其要焉
定初亏复圆时刻以斜距比例求
月食求初亏复圆时刻旧以食甚实纬为一边并径为一边以实纬交白道之角为直角用正弧三角形法求得初亏复圆距食甚之弧以一小时月距日实行比例得时分与食甚时刻相加减即得初亏复圆时刻今以弧线可作直线算故用勾弦求股之法即得距弧至以距弧变时则以一小时两经斜距为比例盖食甚两心实相距既以斜距成直角则初亏复圆之并径亦与斜距成勾股故仍以斜距比例时分也
定初亏复圆方位以并径黄道交角求
旧定月食方位月当黄道无距纬即用黄道高弧交角为定交角若月在交前後有距纬则又求纬差角与黄道高弧交角相加减为定交角然求纬差角之法必先用初亏复圆交周各求距纬今初亏复圆距弧皆斜距之度须复以斜距与白道为比例方得交周颇为费算且前已有斜距黄道交角与九十度相加减即黄道交实纬角则求得并径交实纬角与之相减余并径交黄道之角即纬差角甚为简便故质名之曰并径黄道交角
推月食法
【臣】等谨按考成下编後编所载推月食法各有不同下编以推首朔诸平行及入交为入算之首盖因平望太阳太阴诸平行皆以首朔诸平行为根也後编用日躔月离求实望则太阳太阴诸平行不以首朔为根而以天正冬至为根故止求首朔之日时及入交之月数合之即得平望距冬之日时而不必求首朔诸平行也下编先推平望诸平行推日月相距推实引推实望推实交周推太阳实经然後推实望用时後编推首朔入交及实望实时即推实望用时盖以日躔月离求得实望而实望实交周及太阳黄道经度已在本时日躔月离之中也兹准後编序列之
求积年同推日躔法
求中积分同推日躔法
求通积分同推日躔法
求天正冬至同推日食法
求纪日同推日食法
求积日同推日食法
求通朔同推日食法
求积朔及首朔同推日食法
求首朔太阴交周同推日食法
求逐月望太阴交周置本年首朔太阴交周加太阴交周望策宫度分秒微再以太阴交周朔策宫度分秒微递加十三次得逐月望太阴交周求太阴入交月数逐月望太阴交周自初宫初度至初宫一十五度九分自五宫一十四度五十一分至六宫一十五度九分自十一宫一十四度五十一分至十一宫三十度皆为太阴入交第几月入交即第几月有食
求平望以太阴入交月数与朔策二十九日五三○五九○五三相乘加望策一十四日七六五二九五二六五与首朔日分相加其所得日数即平望距冬至之日数再加纪日满纪法六十去之自初日甲子起算得平望干支以周日一千四百四十分通其小余得平望时分秒
求实望泛时以平望距冬至之日数用推日躔月离法各求其子正黄道实行将太阳黄道实行加减六宫与太隂黄道实行相较如太隂实行未及太阳则平望日为实望本日平望次日为实望次日如太阴实行已过太阳则平望前一日为实望本日平望日为实望次日又用推日躔月离法各求其本日或次日子正黄道实行乃以本日次日两太阳实行相减为一日之日实行本日次日两太阴实行相减为一日之月实行一日之二实行相减为一日之月距日实行化秒为一率周日一千四百四十分为二率本日太阳实行加减六宫内减本日太阴实行余化秒为三率求得四率为距本日子正後之分数以时收之得实望泛时求实望实时以实望泛时之时刻设前後两时用推日躔月离法各求其黄道实行乃以前後两时太阳实行相减为一小时之日实行以前後两时太阴实行相减为一小时之月实行一小时两实行相减为一小时月距日实行化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率前时太阳实行加减六宫内减前时太阴实行余化秒为三率求得四率为秒以分收之加於前时得实望实时再以实望实时用推日躔月离法各求其黄道实行则太阴太阳必对宫而同度乃视本时月距正交自初宫初度至初宫一十二度一十七分自五宫一十七度四十三分至六宫一十二度一十七分自十一宫一十七度四十三分至十一宫三十度皆入食限为有食不入此限者不食即不必算
求均数时差以实望太阳均数变时得均数时差均数加者则为减均数减者则为加
求升度时差以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分之余弦为二率实望太阳距春秋分黄道经度之正切线为三率求得四率为距春秋分赤道经度之正切线得太阳距春秋分赤道经度与太阳距春秋分黄道经度相减余为升度差变时得升度时差二分後为加二至後为减求时差总同推日食法
求实望用时置实望实时加减时差总得实望用时距日出後日入前九刻以内者可以见食九刻以外者则全在昼即不必算
求斜距交角差以一小时太阴白道实行化秒为一边一小时太阳黄道实行化秒为一边实望黄白大距为所夹之角用切线分外角法求得对小边之角为斜距交角差
求斜距黄道交角置实望黄白大距加斜距交角差得斜距黄道交角
求两经斜距以斜距交角差之正弦为一率一小时太阳实行化秒为二率实望黄白大距之正弦为三率求得四率为秒以分收之得两经斜距求食甚实纬以半径一千万为一率斜距黄道交角之余弦为二率实望月离黄道实纬化秒为三率求得四率为秒以分收之得食甚实纬南北与实望黄道实纬同
求食甚距弧以半径一千万为一率斜距黄道交角之正弦为二率实望月离黄道实纬化为三率求得四率为秒以分收之得食甚距弧
求食甚距时同推日食法
求食甚时刻置实望用时加减食甚距时得食甚时刻自初时起子正一时为丑初以次顺数至二十三时为夜子初每十五分为一刻不足一刻者为零分
求太阳实引置实望太阳引数加减本时太阳均数得太阳实引
求太阴实引置实望太阴引数加减本时太阴初均数得太阴实引
求太阳距地同推日食法
求太阴距地以实望太阴本天心距地数倍之为一边以二千万为两边和以太阴实行为一角用三角作埀线成两勾股法算之求得地心至撱圆界之一边即太阴距地
求太阴地半径差以太阴距地为一率中距太阴距地一千万为二率太阴中距最大地半径差五十七分三十秒化作三千四百五十秒为三率求得四率为秒以分收之得太阴地半径差
求太阳视半径以太阳距地为一率中距太阳距地一千万为二率中距太阳视半径一十六分六秒化作九百六十六秒为三率求得四率为秒以分收之得太阳视半径
求影半径置太阴地半径差加太阳地半径差一十秒减太阳视半径得影半径
求影差太阴地半径差化秒以六十九除之得影差
求实影半径置影半径加影差得实影半径求太阴视半径同推日食法
求并径以太阴视半径与实影半径相加得并径求两径较以太阴视半径与实影半径相减得两径较
求食分以太阴全径化秒为一率十分化作六百秒为二率并径内减食甚实纬余化秒为三率求得四率为秒以分收之得食分
求初亏复圆距弧以并径与食甚实纬相加化秒为首率相减化秒为末率求得中率为秒以分收之得初亏复圆距弧
求初亏复圆距时以一小时两经斜距化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率初亏复圆距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得初亏复圆距时
求初亏时刻置食甚时刻减初亏复圆距时得初亏时刻不足减者加二十四时减之初亏即在前一日命时之法与食甚同
求复圆时刻置食甚时刻加初亏复圆距时得复圆时刻加满二十四时去之复圆即在次日命时之法与食甚同
求食旣生光距弧【食甚实纬大於两径较则食在十分内无食旣生光】以两径较与食甚实纬相加化秒为首率相减化秒为末率求得中率为秒以分收之得食旣生光距弧求食旣生光距时以一小时两经斜距化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率食旣生光距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得食旣生光距时
求食旣时刻置食甚时刻减食旣生光距时得食旣时刻不足减者加二十四时减之食旣即在前一日命时之法与食甚同
求生光时刻置食甚时刻加食旣生光距时得生光时刻加满二十四时去之生光即在次日命时之法与食甚同
求距时月实行以一小时化作三千六百秒为一率一小时太阴白道实行化秒为二率食甚距时化秒为三率求得四率为秒以分收之得距时月实行食甚距时加者亦为加减者亦为减
求食甚太阴白道经度置实望太阴白道实行加减距时月实行得食甚太阴白道经度
求食甚月距正交置实望月距正交加减距时月实行得食甚月距正交
求黄白升度差以半径一千万为一率实望黄白大距之余弦为二率食甚月距正交之正切线为三率求得四率为黄道之正切线得黄道度与食甚月距正交相减余为黄白升度差食甚距时加者亦为加减者亦为减
求食甚太阴黄道经度置食甚太阴白道经度加减黄白升度差得食甚太阴黄道经度
求食甚太阴黄道宿度察食甚太阴黄道经度足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阴黄道宿度
求食甚太阴黄道纬度以半径一千万为一率实望黄白大距之正弦为二率食甚月距正交之正弦为三率求得四率为距纬之正弦得食甚太阴黄道纬度南北与食甚实纬同
求太阴距二分弧与黄道交角以半径一千万为一率食甚太阴距春秋分黄道经度之正弦为二率食甚太阴黄道纬度之余切线为三率求得四率为太阴距二分弧与黄道交角之余切线得太阴距二分弧与黄道交角
求太阴距二分弧与赤道交角置黄赤交角二十三度二十九分加减太阴距二分弧与黄道交角得太阴距二分弧与赤道交角食甚太阴黄道经度在秋分後春分前者黄道在赤道南纬南则加仍为南纬北则减亦为南若太阴距二分弧与黄道交角大於黄赤交角则反减即为在赤道北食甚太阴黄道经度在春分後秋分前者黄道在赤道北纬北则加仍为北纬南则减亦为北若太阴距二分弧与黄道交角大於黄赤交角则反减即为在赤道南
求太阴距二分弧之正切线以太阴距二分弧与黄道交角之余弦为一率半径一千万为二率食甚太阴距春秋分黄道经度之正切线为三率求得四率为太阴距二分弧之正切线
求食甚太阴赤道经度以半径一千万为一率太阴距二分弧与赤道交角之余弦为二率太阴距二分弧之正切线为三率求得四率为太阴距春秋分赤道度之正切线得太阴距春秋分赤道经度自冬至初宫起算得食甚太阴赤道经度求食甚太阴赤道宿度察食甚太阴赤道经度足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阴赤道宿度
求食甚太阴赤道纬度以半径一千万为一率太阴距二分弧与赤道交角之正切线为二率食甚太阴距春秋分赤道经度之正弦为三率求得四率为距纬之正切线得食甚太阴赤道纬度求影距赤道度以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分之正弦为二率影距春秋分黄道经度之正弦为三率求得四率为影距赤道度之正弦得影距赤道度太阳在春分後秋分前影在赤道南太阳在秋分後春分前影在赤道北求黄道赤经交角以影距春秋分黄道经度之余弦为一率黄赤大距二十三度二十九分之余切线为二率半径一千万为三率求得四率为黄道赤经交角之正切线得黄道赤经交角
求影距北极置九十度加减影距赤道度得影距北极
求初亏复圆影距正午赤道度以初亏复圆各距子正之时刻变赤道度得初亏复圆影距正午各赤道度初亏复圆时刻在子正前者影在正午东在子正後者影在正午西
求初亏复圆赤经高弧交角以北极距天顶为一边影距北极为一边初亏复圆影距正午各赤道度为所夹之角用斜弧三角形法自天顶作埀弧至赤道经圈即成两正弧三角形先以半径一千万为一率影距正午各赤道度之余弦为二率北极距天顶之正切线为三率求得四率为距极分边之正切线得距极分边以距极分边与影距北极相加减为距影分边次以半径一千万为一率影距正午各赤道度之正切线为二率距极分边之正弦为三率求得四率为埀弧之正切线又以距影分边之正弦为一率垂弧之正切线为二率半径一千万为三率求得四率为赤经高弧交角之正切线得初亏复圆赤经高弧各交角
求初亏复圆黄道高弧交角置黄道赤经交角加减初亏复圆赤经高弧交角得初亏复圆黄道高弧交角太阴在夏至前六宫影在午西则减亦为限西影在午东则加加过九十度与半周相减亦为限东若相加不及九十度则不与半周相减变为限西太阴在夏至後六宫影在午东则减亦为限东影在午西则加加过九十度与半周相减亦为限西若相加不及九十度则不与半周相减变为限东
求并径交实纬角以并径化秒为一率食甚实纬化秒为二率半径一千万为三率求得四率为并径交实纬角之余弦得并径交实纬角
求初亏黄道交实纬角置九十度加减斜距黄道交角得初亏黄道交实纬角食甚月距正交初宫六宫为减五宫十一宫为加
求初亏并径黄道交角以初亏黄道交实纬角与并径交实纬角相减得初亏并径黄道交角凡并径交实纬角小於初亏黄道交实纬角则初亏距纬之南北与食甚同大於初亏黄道交实纬角则食甚为纬北者初亏为纬南食甚为纬南者初亏为纬北若两角相等则并径与黄道合无交角求复圆黄道交实纬角置九十度加减斜距黄道交角得复圆黄道交实纬角食甚月距正交初宫六宫为加五宫十一宫为减
求复圆并径黄道交角以复圆黄道交实纬角与并径交实纬角相减得复圆并径黄道交角凡并径交实纬角小於复圆黄道交实纬角则复圆距纬之南北与食甚同大於复圆黄道交实纬角则食甚为纬北者复圆为纬南食甚为纬南者复圆为纬北如两角相等则并径与黄道合无交角求初亏并径高弧交角置初亏黄道高弧交角加减初亏并径黄道交角得初亏并径高弧交角初亏在限东者纬南则加纬北则减初亏在限西者纬南则减纬北则加如无初亏并径黄道交角则初亏黄道高弧交角即初亏并径高弧交角求复圆并径高弧交角置复圆黄道高弧交角加减复圆并径黄道交角得复圆并径高弧交角复圆在限东者纬南则减纬北则加复圆在限西者纬南则加纬北则减如无复圆并径黄道交角则复圆黄道高弧交角即复圆并径高弧交角求初亏方位初亏在限东者初亏并径高弧交角初度为正下四十五度以内为下偏左四十五度以外为左偏下九十度为正左过九十度为左偏上初亏在限西者初亏并径高弧交角初度为正上四十五度以内为上偏左四十五度以外为左偏上九十度亦为正左过九十度为左偏下并径黄道交角大反减黄道高弧交角者则左变为右求复圆方位复圆在限东者复圆并径高弧交角初亏为正上四十五度以内为上偏右四十五度以外为右偏上九十度为正右过九十度为右偏下复圆在限西者复圆并径高弧交角初度为正下四十五度以内为下偏右四十五度以外为右偏下九十度亦为正右过九十度为右偏上并径黄道交角大反减黄道高弧交角者则右变为左求食限总时以初亏复圆距时倍之得食限总时推月食带食法
【臣】等谨按考成下编後编推月食带食法各有不同今以钦天监所遵用者序列之
求日出入卯酉前後赤道度同推日食带食法求日出入时分同推日食带食法
求带食距时同推日食带食法
求带日距弧同推日食带食法
求带食两心相距以半径一千万为一率带食距弧之余弦为二率食甚实纬之余弦为三率求得四率为带食两心相距之余弦得带食两心相距求带食分秒以太阴视半径倍之得太阴全径化秒为一率十分化作六百秒为二率并径内减带食两心相距余化秒为三率求得四率为秒以分收之得带食分秒
求带食赤经高弧交角以影距赤道度之余弦为一率北极高度之正弦为二率半径一千万为三率求得四率为赤经高弧交角之余弦得带食赤经高弦交角带出地平为东带入地平为西求带食黄道高弧交角置黄道赤经交角加减带食赤经高弧交角得带食黄道高弧交角太阴在夏至前六宫影在午西则减午东则加太阴在夏至後六宫影在午西则加午东则减
求带食两心相距交实纬角以带食两心相距化秒为一率食甚实纬化秒为二率半径一千万为三率求得四率为交角之余弦得带食两心相距交实纬角
求带食两心相距与黄道交角以初亏或复圆黄道交实纬角与带食两心相距交实纬角相减得带食两心相距与黄道交角带食两心相距交实纬角小於黄道交实纬角则带食距纬之南北与食甚同大於黄道交实纬角则食甚为纬北者带食为纬南食甚为纬南者带食为纬北若两角相等则两心相距与黄道合无交角
求带食两心相距与高弧交角置带食黄道高弧交角加减带食两心相距与黄道交角得带食两心相距与高弧交角食甚前带出地平食甚後带入地平者纬南则加纬北则减食甚後带出地平食甚前带入地平者纬南则减纬北则加如带食两心相距与黄道无交角则带食黄道高弧交角即带食两心相距与高弧交角
求带食方位食甚前与初亏同食甚後与复圆同推各省月食法
【臣】等谨按考成下编後编推各省月食法各有不同今以钦天监所遵用者序列之
求各省月食时刻置京师月食时刻按各省东西偏度所变之时分加减之得各省月食时刻求各省月食方位以各省北极高度及各省初亏复圆时刻依京师推月食方位法算之得各省月食方位
皇朝文献通考卷二百六十五