《测圆海镜》测圆海镜卷十一

元　李冶　撰

杂糅一十八问

或问城南有槐树一株城东有柳树一株甲出北门东行丙出西门南行甲丙槐柳悉与城叅相直既而丙就柳行五百四十四步至柳树下甲就槐行四百二十五步至槐树下问答同前

法曰甲就步自之于上以二行相减数自之减上位为实二之二行相减数并入二之甲就步为从一步常法得平

草曰别得丙就步为边也甲就步为底也边即皇髙共也底即皇平共也二行相并即大皇共也二行相减即皇极勾股较也倍皇以减于大余即虚也倍皇内减边余即叀也倍皇内减底余即明也皇极加一差【按一差即皇极勾股较】则大差也内减一差则小差也立天元一为平加一皇极勾股差得□□即髙也髙自之得丨□□内加天元幂得□□□为皇幂【寄左】然后以天元减底得下式□□自之得丨□□为同数与左相消得丨□□开平方得一百三十六步即平也余各依法求之合问

或问出南门东行有槐树一株甲出北门东行斜望槐树与城相直就槐树行二百七十二步出东门南行有柳树一株丙出西门南行斜望柳树与城相直就柳树行五百一十步问答同前

法曰云数相并而半之以自乘于上半丙斜行以为幂半甲斜行以为幂并二幂减上位为实并云数为益从一步平隅得虚

草曰别得丙斜行为黄广也亦为两个髙也此勾则城径也甲斜行即黄长也亦为两个平也此股则城径也二数相并得□即大虚共也二数相减余□即两个皇极差也二数相并而半之得□即皇极和也立天元一为虚以减于皇极和得□□即皇极也以自之得丨□□为皇幂【寄左】然后以髙自之得□以平自之得□二自乘数相并得□与左相消得□□□开平方得一百二即虚也合问

或问甲从坤隅南行不知步数而立乙从艮隅南行一百五十步望见甲复斜行五百一十步与甲相防问答同前

法曰斜行自之于上倍南行减斜余自之以减上为实倍南行减斜又四之为从八步常法平方得半径草曰别得南行即小差股斜行即黄广也小差股内减半径余即半个黄广积上股差也全径即其勾也立天元一为半城径减于乙南行倍之得□□即一个黄广即上股差也以减于斜行步余□□即股也自之得□□□为股幂也又倍天元以自之得□□为大勾幂加入大股幂得□□□【寄左】然后以斜行幂□与寄左相消得下式□□□开平方得一百二十步即半径也合问

或问乙从艮隅东行不知逺近而止甲从坤隅东行一百九十二步望见乙复斜行二百七十二步与乙相防问答同前

法曰倍东行减斜行得数自为幂以减于斜行幂为平实倍东行减斜行又四之为从八益隅翻法开平方得半径

草曰别得甲东行即大差勾也斜行则黄长也大差勾内减半径余即半个黄长积上勾差也全径即其股也立天元一为半径减于东行倍之得□□即一个黄长积上勾差也以减于斜行步得□□即黄长勾也以自之得□□□为勾幂于上倍天元以自之得□□加上位得下式□□□为幂【寄左】然后以斜行幂□为同数与左相消得□□□平开得一百二十步即半城径也合问

或问甲从坤东行一百九十二步丙从艮南行一百五十步望见之问答同前

法曰二行相乘倍之为平实如法得圆径

草曰别得甲行即大差勾丙行即小差股此二数相乘恰与大小差相乘正同如法相乘讫倍之得□为圆径幂【寄左】然然立天元为圆径以自之与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问

又法以二行相减数减于二行相并数余者半之于上复以二行相减数加于上即城径

草曰别得甲东行减于径为虚勾也丙南行减于径为虚股也二行共为一径一虚共也二行相减即虚和也以相并数相减数又相减即两个虚也如法求得虚和□虚□相并得□即城径也合问按又法未合盖以二行相减为虚较而草中误以为虚和也其义甚浅非难知者是殆偶尔之遗忘然亦可以决其为当日未定之稿矣

或问出西门南行二百二十五步有塔出北门东行六十四步望塔正当城径之半问答同前

法曰二行相乘为平实一步常法得半径

草曰别得二百二十五步为髙股此乃半径为勾之股也其六十四步为平勾此乃半径为股之勾也二数相并即太极也二数相减即中差内去皇极差也又别得二行相乘恰是半径幂一段此与半梯头相乘其意正同今且以上容圆取之立天元一为半径副之上加南行得□□为股也下加东行步得□□为勾也勾股相乘得丨□□为大直积以天元半径除之得□□□为勾股和【寄左】然后并勾股得□□与左相消得丨○□开平方得一百二十步即半径也合问

或问丙从干隅南行丁从艮隅亦南行甲从干隅东行乙从坤隅亦东行各不知步数四人悉与城相直只云丙行内减丁行余四百五十步甲行内减乙行余一百二十八步问答同前

法曰二行相乘为实一步常法得城径

草曰别得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即大勾乙行即大差之勾也其□即黄广股其□即黄长之勾也立天元一为城径先置黄广股□为股方差以□为勾方差以乘之得□为城径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得下式丨□□开平方得二百四步合问

或问出南门东行有槐树一株出东门南行有柳树一株丙丁二人同立于坤隅甲乙二人同立于艮隅丁直东行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲直东行四人遥相望见只云丙行多于丁行一百六十八步乙行多于甲行七十步问答同前

法曰云数相乘为实二数相减又半之为法得城径草曰别得□即大差勾股较也其□即小差上勾股较也二数相并为大差内减小差也二数相较又半之皇极与城径差也二数相并而半之即皇极差也立天元一为圆径二云相减数又半之加天元得□□为极也并二数而半之得□为极差也副置极上位加极差得□□为较和也下位内减极差得□□为较较也上下相乘得丨□□为二直积【寄左】然后以天元一乘极得下式丨□为同数与左相消得□□上法下实而一得二百四十步即城径也合问

或问甲从坤东行丙从艮南行适相见斜行一百二步甲丙相防丙云我南行不及汝四十二步问答同前法曰二数相并以斜行乘于上二数相并而半之以乘相并数减上位为平实不及步为从一步常法得虚勾

草曰别得一百二步即虚四十二步即虚较也又斜行得虚股为乙东行此便为大差勾也斜行步得虚勾为丙东行此便是小差股也立天元一为虚勾加斜行步得□□为小差股也以不及步加于小差股得下式□□为大差勾也勾股相乘得丨□□为半段黄方幂【寄左】然后再置虚勾加不及步得□□为虚股又加入天元得□□为虚和又加入虚得□□为圆径以自之得□□□又半之得□□□与寄左相消得丨□□平方开得四十八步即虚勾也合问

或问甲从城心东行丙从城心南行庚从巽隅西行壬从巽隅北行四人遥相望见各不知步数只云甲丙共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八问答同前

法曰云数相乘为实相并为法得虚

草曰别得甲丙共为皇极和也又为极极黄共庚壬共为太虚和也又为虚虚黄共立天元一为皇极黄方靣【亦为虚也】减于甲丙共得□□即极也又以天元减于庚壬共得□□即太虚黄方靣也以太虚黄方靣乘极得丨□□【寄左】然后以天元幂与左相消得□□上法下实如法得一百二步即皇极黄方靣也合问【按此亦系相消后得一边之二数者】

或问甲从干隅东行不知步数而止丙向南行亦不知步数望见甲就甲斜行七百八十步与甲相防甲云我行地虽少于汝以我东行步为法除汝南行步则汝止得二步四分问答同前

法曰斜步自之为平实除步自之又加一步为隅得甲东行

草曰此问所求城径与诸问并同其勾股则与前后诸率不同今特为此草者欲使后学有以考较诸率当否也立天元一为甲东行【即大勾】以乗二步四分得□为长以自之得□□为股幂又并入天元幂得□□为幂【寄左】乃以斜行自之得□为同数与左相消得□□□开平方得三百即甲东行也以二步四分乘之得七百二十步即丙南行也倍丙东行以甲东行乘之得四十三万二千为实以三事和一千八百为法除之得二百四十步即城径也合问

或问小差黄方靣少于大差黄方靣八十四步太虚黄方靣少于皇极黄方靣六十六步问答同前

法半八十四为中差以中差减六十六为二小差半之为小差又中小差相并为大差乃以小差乘大差为平实半步常法得虚黄

草曰别得八十四为两个虚积中差其六十六为虚积大小差并半八十四得□为虚中差也以中差减六十六余二十四半之得□即虚小差也以小差反减六十六余□即虚大差也又别得小差黄方为两叀股大差黄方为两明勾也立天元一为虚黄方置三位上加小差得□□为虚勾也中加大差得下□□为虚股也下加大小差并得□□为虚也三位并之得□□即城径也倍虚勾减城径得□□为大差黄方靣也又倍虚股减城径得□□为小差黄方靣也半小差黄方靣得□□以乘大差黄方得□□□为一个虚直积【寄左】乃以虚勾虚股相乘得丨□□为同数与左相消得□□□平方开得三十六步即虚黄方靣也其余依法求之合问据此问既别得大小差正数自可以求得黄方靣也诸如此数实不湏草今特为细草者庶使后学知其来歴

或问大差较较减皇极余四十九步小差较和减太虚余一百三十八步又皇极差一百一十九步问答同前

法曰并前二数为幂内减极差幂为平实从空二益隅得虚

草曰别得大差较较与小差较和皆同为圆径也又二数相并得□为明叀共又为极和内少两个虚也其一百三十八即虚和也□则旁差也立天元一为虚加入一百三十八得□□为圆径也又加入□得□□为极以自之得丨□□又倍之得□□□内却减极差幂□得下式□□□为和幂【寄左】乃倍天元加并数得□□为极和以自增乘得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二步即虚也加入一百三十八得二百四十步为圆径合问【前二数相并加虚便是极】

或问小差不及平五十六步髙不及大差一百五步问答同前

法曰以前数自之为实二数相减为法得平勾草曰别得云数相并得□为平勾不及髙股也此数得极差则通差也此数内减虚差则极差也云数相减余□即城径不及极也以前数减于半径余即平勾以后数加于半径即髙股也倍前数加小差则为股圆差之勾也此与前数加平同倍后数减于大差则为勾圆差之股也此与后数减于髙同立天元一为平勾加相并数得□□即髙股也又加天元得□□即极也内减二云数差得□□为城径也半之得□□以自之得丨□□为半径幂【寄左】然后以天元乘髙股得丨□为同数与左相消得□□上法下实得六十四步即平勾也合问

又法云数相得为实相减为法得半径

草曰立天元为半径副之上内减五十六得□□为平勾下加一百五得□□为髙股上下相乘得丨□□为半径幂【寄左】以天元幂与左相消得下式□□上法下实得一百二十步即半径也合问

或问通勾通共一千步大差小差共得四百四十步问答同前

法曰以二差共减于一千又半之以自乘为平实以二差共减于一千又半之加入二之前数为纵【前数谓一千也　按此语有误应加入二之后数后数谓大小差共也】二步二分五厘益隅得勾圆差

草曰立天元一为小差数加入后数得□□却以减于前数得□□折半得□□为一个圆径也以自之得下式□□□【寄左】然后以天元减后数得□□为大差以天元乘之又倍之得□□与左相消得□□□开平方得八十步即勾圆差也

或问皇极三事和六百八十步太虚和较三十六问答同前

法曰二数相得为实半之后数为益从五分常法平开得城径

草曰别得皇极三事和即大也立天元一为城径减三个后数□而半之得□□为太虚大小差并也却加入两个后数□得下□□为虚和也又以虚和减天元得下□□为虚也置通【即皇极三事和也】内加天元得下式□□即通和也乃置通和以虚乘之得下式□□□【寄左】再置虚和以通乘之得下□□为同数与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问

或问出南门行一百三十五步有树出北门行一十五步折而东行二百八步望见问答同前

法曰以东行步乘南行步得数又自乘为实以东行步自乘乘南行步又倍之为从东行步自乘于上并南北二行步以减于东行步余数自之为幂以减上再寄位又并南北二行步以东行步乘而倍之内减再寄为第一益亷四之东行步于上又并南北二行步减于东行步又四之减上位为第二益亷四步虚隅开三乘方得半径

草曰立天元一为半径【即髙勾也】置南行步加天元得□□为髙也置大勾□以髙乘之得□□复以髙勾除之得下式□□为大也令之自乘得□□□【寄左】又置二之天元加南北行并得□□为大股复用大勾二百八减之得□□为较也以自乘得□□□为较幂以减寄左得□□□□□为二直积【寄左】再置大股□□以大勾□乘之得□□为直积又倍之得□□为同数与左相消得□□□□□翻法开三乘方得一百二十步即城径之半也合问

或问出北门一十五步折而东行二百八步有树出西门八步折而南行四百九十五步见之问答同前法曰先置南行步内减一东二西并步余二百七十一为前泛率次并一南二北内减东行步余三百一十七为中泛率次并东西步以南行步乘之于上位又以西行乘南北并得数减上位余一十万二千八百四十为后泛率乃以后泛率自乘得一百五亿七千六百六万五千六百为三乘方实以前中二泛相减余四十六以乘后法数为从前中二泛相乘得八万五千九百七加入二之后泛数共得二十九万一千五百八十七于上位又并东西行以乘南北并得二十二万三百二十加上位通得五十一万一千九百七为第一亷二之前泛数加入四之东西并得一千四百五十二于上位又以前中二泛相减于四十六减上位余一千四百六为第二亷一步常法得半径【按此法乃取于又法草中其求第二亷云二之前泛数句误当云二之四数并若二之前泛数加入四之东西并便得第二亷一千四百零六更不待再减然原文之意不如是也】

草曰立天元一为半城径加入东行西行并得□□为大勾也又置天元加入南行北行并得□□为大股也置西行八步以大股乘之得下式□□合以大勾除之不除寄为母便以此为股尖也置南行四百九十五步减天元得□□用分母大勾乘之乘讫得下式□□□内减了股尖余□□□为小股也【内带大勾分母】置小股合以大勾乘了复以大股除之为小勾今为小股内已有大勾为母更不湏乘只以小股□□□便为小勾也【内带大股为母】小勾小股相乘得数为一个小勾股相乘直积内带大勾股相乘直积为分母也乃以半城径【即天元也】除之为一个较和也丨□□□□此法本取勾外容圆合以较和除二积为勾外所容之圆今用天元半径除一个积则却得一个较和也内依旧带大积分母也【寄左】然后再置小股□□□合用大积乘之縁内已带大勾分母今只用大股□□乘之得□□□□为大积所乘小股于上再置小勾合用大积乘之縁内已带大股分母合只用大勾□□乘之得□□□□为大积所乘之小勾也以此小勾减上小股得□□□即带分小较也又二因小较得下式□□□为带分二较也又以大勾股直积丨□□乘二之天元半径得□□□为一个带分较较也【较较乘较和为二直积既以圆径除二百积为较和则是圆径为较较也今又为半天元圆径除一积为较和故倍天元半径作一个较较也】遂将此较较加入前二较得□□□□亦为一个较和也与寄左相消得下式丨□□□□开三乘方得一百二十步即城半径也合问

又法此问系是洞渊测圆门第一十三前答亦依洞渊细草用勾外容圆术以入于较和然其数烦碎宛转费力今别草一法其亷从与前不殊而中间段络迳捷明白方之前术极为省易学者当自知也　立天元一为半径副之上并加东西行得□□为通勾率下并加南北行得□□为通股率乃置西行八步以通股乘之得下□□合通勾除不除寄为母便以此为南小股也又置南行四百九十五步内减天元得□□用通勾乘之得□□□内减了南小股下式卜□□为股圆差也内带通勾分母又置北行一十五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄为母便以此为北小勾也又置东行二百八步内减天元得□□用通股乘之得□□□内减了北小勾余□□□为勾圆差也【内带通股分母】乃以二差相乘得下式丨□【□□】□【□□】为半段圆径幂也内带通积为母【寄左】然后以通勾通股相乘得丨□□以天元幂乘之得丨□□□又倍之得下式□□□□为同数与左相消得亷从一与前同合问

按洞渊疑为古之精于算者序中谓老大以来得洞渊九容之说而于此问又明其为洞渊测圆门第十三题前答亦依其细草大抵是书之作皆师其意而演之者也今洞渊之为人与书虽不可考而即此一草观之其取径遥深而惟变所适亦可见文豹之一班矣至谓其数烦碎宛转费力特为初学难易而言读者宜善防也

测圆海镜卷十一

钦定四库全书