元 李 冶 撰
明 顾应祥 释术
和较参互带分测望
圆城甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行各不知步数而立相望与城相叅直丙复斜行七百八十步与甲会以甲东行步除丙南行得二步四分释曰此与勾除股数立法测望斜行七百八十步也二步四分乃以勾除股所得之数
术曰斜步自之得六十○万八千四百为平实 以二步四分自之得五步七分六厘加一步得六步七分六厘为隅算平方开之得三百为勾勾求股得七百二十
甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行不知步数而立乙东行隔城见之甲复斜行与乙相会告乙曰我直行斜行共行了一千二百八十步汝东行步居我南行步十五分之八
释曰此通股和与通勾股相较分立法测望乙东行为通勾甲南行为通股斜行为通共行通股和也乙东行既居甲南行十五之八是股得十五勾得八
术曰股和自之得一百六十三万八千四百又以十六因之得二千六百二十一万四千四百为实以二百五十七因和步得三十二万八千九百六十为益从 以一十六为隅算作减从负隅开平方法除之得股较八十加和半之为减和半之为股负隅减从开平方法见二卷
又曰勾居股十五分之八宜以八为勾率十五为股率各自乘并为实平方开之得一十七为率并股率得三十二为法置和步一千二百八十为实置二位一位以股率乘之以法除之得六百为股一位以率乘之以法除之得六百八十为此差分之法简易明白
甲乙二人俱在城外西北干隅乙直徃南行不知步数而立甲往东行见之甲复斜行与乙会甲云我直斜共行了一千步东行得汝南行十五分之八
释曰此通勾和与通勾股相较分立法测望甲东行为勾斜行与乙会为乙南行为股
术曰和步自之得一百万为和筭分母自之得二百二十五以乘和筭得二亿二千五百万为实 分母并分子以分母乘之加入分子得三百五十三倍之得七百○六以乘共步得七十○万六千为益从分母自之得二百二十五为隅法 作负隅减从开平方法除之得三百六十为勾较以较减和得勾负隅减从开平方法见二卷
又曰勾居股十五之八就以八为勾率十五为股率勾股求得一十七为率并勾二率共二十五为法以和一千为实 副置二位一位以勾率乘之以法除之得勾一位以率乘之以法除之得
甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行不知步数而立乙东行亦不知步数望见之又斜行与甲相防乙云我东行不及城周九分之五甲云我南行多与汝东行二百八十步问城径
释曰此通勾股较与通勾城周相较分数立法测望乙东行通勾甲南行通股南行多与乙东行为勾股较乙东行不及城周九分之五则城周得九通勾得四
术曰东行步少城周九分之五则城径得三东行得四 四勾股较得一千一百二十为实 城径得东行四分之三以四为分母分母自之得一十六于上分母减子余一倍之得二以分母减子乘之仍得二以减上倍余一十四为法 除实得八十为一分之数 二之为城径四之为勾加较即股
甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行见之乙云我东行居城径六分之五甲云我南行多于乙二百八十步问城径
释曰此底勾邉股较与底勾城径相较分数立法测望乙出北门东行为底勾甲出西门南行为邉股多于乙行步为勾股较乙东行居城径六分之五为底勾城径相较步数
术曰四之较步得一千一百二十为实分母自之得三十六于上半之分母减分子得二倍之得四又以减子余二乘之得八以减上位余二十八为法除实得四十为一分之数五之为东行六之为城径
甲乙二人俱在城外西北干隅乙南行不知步数而立甲东行不知步数见之问其行步则甲乙共行了九百二十步问城径居乙南行四十分之一十六释曰此通勾股和与通股城径较分数立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共行九百二十为勾股和城径得南行四十分之十六为通股城径相较分数
术曰以分子减母余倍之得四十八以乘共行得四万四千一百六十为实 分子减母倍之以乘母子和得二千六百八十八子自之得二百五十六相并得二千九百四十四以为法实如法而一得一十五为一分之数
又曰列四十与一十六以约分法约之城径得南行五分之二分母减子余三倍之得六以乘共行得五千五百二十为实 分母减子倍之以乘母子并得四十二 分子自之得四相并得四十六为法 除实得一百二十为一分之数五之为通股二之为城径
约分法曰副置分母子以少减多得八为等八除分母得五除分子得二
甲乙二人俱在城中心甲穿城往南不知步数乙出东门不知步数见之复斜行与甲会计其行乙东行较甲南行得十五分之八乙斜行减甲南行余三十四减乙东行余一百五十三步问城径
释曰此皇极勾较股较与皇极勾股较分数立法测望甲南行为皇极股乙东行为皇极勾斜行为皇极斜行减南行余三十四股较也斜行减东行余一百五十三勾较也东行得南行十五分之八勾股较分数也
术曰二余数相乘得五千二百○二倍之得一万○四百○四平方开之得一百○二复加二余得二百八十九自之得八万三千五百二十一于上 又以二余数相减余一百一十九自之得一万四千一百六十一以减上位余六万九千三百六十为实 分母子相乘得一百二十倍之得二百四十为隅算作负隅开平方法除之得一十七为一分之数八之为勾十五之为股各加余步得
甲出西门南行乙出北门东行各不知步数相见复相向斜行各三百四十步相会甲云城径居我南行二分之一乙云我东行居城径六分之五问城径释曰此通与底勾城径较分数邉股城径较分数立法测望甲出西门南行为邉股乙出北门东行为底勾斜行各三百四十步共为通城径居南行二分之一邉股城径较分数也东行居城径六分之五底勾城径较分数也
术曰并斜行自之得四十六万二千四百为实 即筭东行居城径六分之五城径得南行二分之一是城径为六东行为五南行为十二半城径加南行为十五自之得二百二十五 半城径加东行为八自之得六十四 相并得二百八十九为隅算作负隅平方开之得四十为一分之数十二之为邉股五之为底勾六之为城径
负隅开平方法见一卷
甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行不知步数见之又斜行与甲会二人共计行一千三百六十步南行得斜行十七分之十二东行得斜行一十七分之五问城径
释曰此邉股底勾通和与底勾通较分数邉股通较分数立法测望甲出西门南行为邉股乙出北门东行为底勾斜行与甲会为通共行一千三百六十邉股底勾通和也东行得斜行十七分之五底勾通较分数也南行得斜行十七分之十二邉股与通较分数也
术曰此用差分法各列置衰十七股十二勾五副并得三十四为法 置共步一千三百六十为实以十七因之以法除之得通 以十二因之以法除之得邉股 以五因之以法除之得底勾 求城径用底勾邉股求容圆法
甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行见之既而乙谓甲云我取汝六分之五得六百步甲谓乙云我取汝五分之三亦六百步
释曰此底勾边股错揉立法测望甲出西门南行为边股乙出北门东行为底勾
术曰此法用方程术以乙取甲分母六乘六百步得三千六百 甲取乙分母五乘六百步得三千 乙取甲六分之五是五个甲行六个乙行也甲取乙五分之三是五个甲行三个乙行也置甲五 乙六 三千六百步于右 甲五乙三三千步于左 以右甲五互乘左乙三得一十五左甲五互乘右乙六得三十二正相减 余一十五为法 右甲五互乘左三千得一万五千左甲五互乘右三千六得一万八千相减余三千为乙行之实 右乙六互乘左三千得一万八千左乙三互乘右三千六百得一万○八百相减余七千二百为甲行之实 法除乙实得乙行二百步法除甲实得甲行四百八十步 二行步相并自之得四十六万二千四百于上 二行各自之甲得二十三万○四百乙得四万 相并得二十七万○四百以减上位 余一十九万二千为实 二行相并得六百八十为从方半步为隅算 作负隅带从开平方法除之得全径负隅从开平方法见四卷底勾通条
又曰二行相乘得九万六千为实 相并得六百八十为从作从开平方法除之得半径
从开平方法见前卷
甲从城外西南坤隅往南不知步数而立乙从城外东北艮隅往东望见之既而乙谓甲云我取汝所行三分之一得二百步甲谓乙云我减汝所行四分之三得三百步问城径
释曰此大差股小差勾错揉立法测望甲从坤隅南行为大差股乙从艮隅东行为小差勾
术曰此用方程术先以甲取乙分 三乘二百步得六百步乃三个乙行一个甲行也 又以乙减甲分母四乘三百步得一千二百乃四个甲行内减三个乙行也 置甲一乙三六百步于右 甲四乙三一千二百步于左 以右甲一互乘左乙三仍得三左甲四互乘右乙三得一十二一正一负相并得
一十五为法 以右甲一互乘一千二百如旧左甲四互乘六百得二千四百 相减余一千二百为乙行之实 右乙三互乘一千二百得三千六百左负乙三互乘六百得一千八百 正负相并得五千四百为甲行之实 法除乙实得乙行八十 法除甲实得甲行三百六十求城径以二行相乘倍之得五万七千六百平方开之
甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行不知步数而立乙东行不知步数见之问其行步则甲南行与城径相较其余步居南行五分之三乙东行与城径相较其余步居东行四分之一又云二余步相减余二百八十步问城径
释曰此股圆差与股较分数勾圆差与勾较分数及股圆差勾圆差较立法测望甲南行为通股城径相较余步为股圆差股圆差居股五分之三乙东行为通勾城径相较余步为勾圆差勾圆差居勾四分之一二差相减余二百八十步为股圆差与勾圆差相较也
术曰倍二余步相减数得五百六十步为实 勾母乘股子减股母得七为法除之得勾圆差八十 三之为城径四之为勾
甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行乙东行各不知步数相望问其行步但云甲南行与城径相较余步居南行步五分之三乙东行与城径相较余步居东行步四分之一 又记得东行分母每分不及南行每分四十步问城径
释曰此亦股圆差与股较分数勾圆差与勾较分数及二差分母相较数立法测望甲南行为股城径不及股步为股圆差差得股五分之三乙东行为勾城径不及勾步为勾圆差差得勾四分之一勾分母与股分母相较得四十也
术曰置少步倍之得八十为实 以股母子相减得二 勾母子相减得三 相减余一为法除之仍得八十为勾圆差三之为城径四之为勾 求股圆差以勾圆差加少步四十得一百二十为一分 二之为城径三之为股圆差五之为股
甲出南门直行不知步数而立乙出东门直行见之甲云我行不及股圆差二十四分之一十五乙云我行不及勾圆差五分之四又云甲直行多于乙直行一百一十九步二差相较二百八十步问城径
释曰股圆差三百六十通股与圆径较也甲出南门直行为明股明股与股圆差相较不及二十四分之一十五勾圆差八十通勾与圆径相较也乙出东门直行为□勾□勾与勾圆差相较不及五分之四甲行多于乙行一百一十九步明股□勾较也二差相较二百八十步勾圆差不及股圆差数也
测圆海镜分类释术卷十