<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷四十四
宣城梅文鼎撰
方程论卷五
测量
测量非方程事也方程者算术算术恃计测量恃目实惟两途测量之不能兼算术犹算术之不能兼测量虽曰能兼非其粹矣今略具其所兼其不能兼者有句股诸法在
测量在方程有二
一曰隂云测量
隂云者不见宿度而云影微薄之处犹能见五纬若见二星则有其相距之度而可以方程取之矣
一曰宿度测量
宿度者虽无隂翳而无仪器故借宿距一定之度以取之必有二星同见或星与太隂同见则成方程之算矣
隂云测法
假如隂云不见宿次但于云隙测得辰星在太白后一度又二日荧惑与二星同在一度又二日太白在荧惑前三度而辰星云翳又一日辰星在房初度余不可见又十二日荧惑始至房初问各行率若干畣曰辰星每日行二度 太白每日行一度有半荧惑每日行半度
解曰此辰星行二日太白亦二日而辰星多一度荧惑与太白同行三日而太白多三度 辰星行四日荧惑十六日而行度相当也
法曰以较数列位
依省算以左行半之与右相减辰星同减尽太白二日【右负】荧惑八日【左负】皆无减分正负【同名在隔行即异名也】正 一度亦无减【与荧惑同名】
重列减余与中行
依省算以左行减三之一乃对减 太白同减尽荧惑同减余六日为法 行度异并三度为实 法除实得半度为荧惑每日行率 以右减余八日乗之得四度同减负一度余三度以太白二日除之得一度半为太白日行率 以右行太白二日行三度异加正一度共四度以辰星二日除之得二度为辰星每日行率
假如测得辰星在金星后二度隂云不知宿次但于四日后见二星同行在一度亦未知宿次又三日辰星行至房初度而金星云翳至第四日金星亦至房初而水星未见问两星每日行率若干
解曰此两星各行四日而辰星多二度 辰星行三日金星行四日而其度相当
法以较数列位
二色者有一色偶同依省算径以对减 金星同减尽 辰星同减余一日为法 正二度无减为实法一省除径以二度为辰星每日行率 以辰星三日行六度金星四日除之得每日行一度半
若欲知前两测某宿度者以金星四日行六度为二星同度距房初之数 又加金星同行四日六度共十二度为前测金星距房之度 又加辰星在金星后二度为辰星前测距房之度 各以距度与房初度相求得前两测星躔宿度
如顺行者前所测之宿在房后也氐宿亢宿也各置距度以氐宿亢宿度迭减之不尽者以转减前宿之度得星所在宿度 如逆行者前所测之度在房前也心宿尾宿也各置距度以房度心度逓减之减不及者即命为后宿星所在之度
假如甲子日金星夕见乙丑日水星夕见至丁卯日水星行及金星但不及半度至戊辰日二星同度皆以阴晦不能细知宿次问各率若干
解曰此金星行四日水星三日相当
金星行三日水星二日则水星不及半度
法以较数列位
依省算左行二分加一 水同减尽 金同减余半日为法空度七分半为实 法除实得金星日行一度半 金三日行四度半同减负半度余四度以水星二日除之得日行二度
假如广福二船哨海福船先发行五日广船行三日遇于中途其泛地相距二千五百里遂又同往一岛广船行四日先至候六日福船始至问各船每日行率解曰此广船疾福船迟也 广船三日福船五日共行水面二千五百里 广船四日福船十日而水程相当
畣曰广船日行五百里
福船日行二百里
法以一和一较列位
如法遍乗 广船同减尽 福船异并五十日为法正一万里无减为实 法除实得二百里为福船
毎日行率 福船十日行二千里以广船四日除之得五百里为广船每日行率
又如自东徂西共二千里先乗车行五日换舟行八日至其国其舟与车复同往一处车先行六日舟乃发行四日逐及问舟车行率
畣曰舟每日二百里 车每日八十里
解曰舟疾车迟 舟八日车五日共行二千里 舟四日车十日行适相当
依省算半右行数 舟同减尽 车异并十二日半为法 正一千里无减为实 法除实得八十里为车率 以舟四日除车十日所行八百里得二百里为舟行率
假如甲乙二船哨海同泊一山同用正卯酉字风东行但甲船先发解防七日乙船后行解防五日追及于一岛又自此岛用正子午字风南行但甲又先发解防九日泊于南洋乙后发解防七日泊于又南洋其二洋相距二百里问道里各数
法以较数列位
甲船同减尽 乙船余四日为法 负一千四百里为实 法除实得三百五十里为乙船每日率 以甲船七日除乙船五日所行一千七百五十里得二百五十里为甲船率 其一千七百五十里即山岛相去之程 以甲船九日行二千二百五十里为岛去南洋之程 又加二百里为又南洋之程合问计开
甲船每日行二百五十里
乙船毎日行三百五十里
山岛之距一千七百五十里
岛距南洋二千二百五十里
距又南洋二千四百五十里
自山至又南洋共水程四千二百里
又假如二人同往西番公干一人车一人骑车自某山西行九日骑自某河西行十日及之于一城其河在山之东相距三百里又自此城西行八日骑先至一国驻劄候一日车至问道里各如干
法以较数列位
如法径减 余骑二日为法 三百里为实 法除实得一百五十里为骑行率 并骑前后共十八日行二千七百里为所驻西国距河之程骑所行也减河距山三百里余二千四百里为西国距山之程车所行也 并前后车行十八日除之得一百三十三里又三分里之一【即一百二十步也】为车行每日里率用车行里率乗九日得一千二百为城距山之程以减总距余亦一千二百里为西国距城之程计开
骑日行一百五十里 前后共行二千七百里车日行一百三十三里又三分里之一 前后共行一千四百里
城距山一千二百里 距河一千五百里
国距城一千二百里 距山二千四百里 距河二千七百里
此上数则近事易知用明测量之理
宿度测法
凡测量之法有测器又有水漏则虽阴云可以所见者得其度若但有测器而无水漏可以所见两星之距度取之如前所列隂云不知宿度之法是也乃又无测器而但据目见则当以宿度取之盖宿有一定之度借以为两星之和度较度因所知以求不知此则方程之法可为测量者助也至于诸星行率古今厯术不同学者通其意无拘其数焉其可
若一星单行非仪器比量莫知其迟疾之度然晴雨难期则亦有因所见以测所不见之时故算术不可废也
五星错行多有相遇则和度较度可施若太隂毎月经行廿八宿一次与五星相遇亦每月有之精于推步者虽非假此定星然用与厯术相参有不借仪器而知迟疾使看者引騐见効亦算家之乐也
其五星各有迟疾留逆故测量比例当于相近日数内求之则所差亦不多也
其迟疾变行湏查七政厯以约其日则一星单行亦自可考其进退之数
两星相较例
假如两宿原有定距【如房距心】若干度有一纬星在其间【如金在房心间】以旁星记之越若干日纬星行至东宿【如心】又别一纬星【如火星】在西宿【如房】越若干日行至先所记旁星之处
此因无仪细测故借宿度用之如上所举乃以宿距为二星和度也一纬星若干日【如金】一纬星若干日【如火】共行天若干度【如房度】故曰和度
又如以一宿为主【如心】有纬星在其西【如木】以旁星记之越若干日纬星行过宿东至后一宿【如尾】又或异日别一纬星【如土】亦在前记纬星处所越若干日行至所借为主之宿【如心】
此则以宿距为二星较度也一纬星若干日【如木】一纬星若干日【如土】相差若干度也【如心度】故曰较度
凡此皆可以方程御之
若得两较度或两和度或一和一较即二色方程术也若三星四星以上各得三两宗测数以三色四色等方程求之无不可见
如木星在一宿之西【如井鬼之间】越若干日行至其宿【如鬼】火星原在木星之西越若干日行至木星原处金星又在火星之西而恰当西宿【如井】越若干日行至火星原处又若干日亦至木星原处
此亦借宿度为用而中有二和一较如云金星若干日火星若干日木星若干日共行若干度也【如井度】 又金星若干日木星若干日共行若干【亦用井度】 此二者和度也 又金星若干日火星若干日而其行适等【用火星至木星元处之日及金星自火星元处至木星元处之日】此则较度也【适足即较数也度无较其日则有较】
又如火星在房宿之西越若干日行过房抵心宿而木星自火星元处越若干日至房宿又有金星或先或后亦自火星元处越若干日行至房又若干日逐及木星于房心之间
此以宿距为较度者三 如云以火星若干日较木星若干日而火星之行多一房度也 以火星若干日较金星若干日而火星亦多一房度 以金星若干日较木星若干日而行度相等【用两星逐及于房心之间日数】
此上二则以三色取之 凡所测不必两星同在一度但欲有旁星可记异日有他星复至所记旁星之处即成同度之算右皆顺行星例
又如一星顺行自房行几日一星逆行自心行几日相遇同度于房心间自此分行又几日其逆行星至氐此用一较度一和度也顺行星几日逆行星几日共行房宿度此为和度 顺行星几日逆行星几日而逆行星多一氐宿度此为较度【用逆行星相遇后至氐宿之日数】
又如一星自建星顺行至几日遇逆行星又几日至牛宿其逆行星自相遇处行几日至建星又几日至斗宿距星
此亦一和一较 顺行星几日逆行星几日而行度相当【用二星两相遇处至建星之日数】此较度也 顺行星几日逆行星几日而共行斗宿度【用两相遇后顺行星至牛逆行星至斗之日数】此和度也
右逆行星例
问金火二星在房宿之西同度越九日金星行过房东至一处有星可记又一日金星行至心宿又八日火星始至房又九日火星始至前所记金星之处其二星行度各若干
解曰此金星行九日火星廿七日而行度相等金星行十日火星十八日而金星多六度【房宿六度故也】
法以较数列位
依省算以右行加九之一 乃对减 余火星一十二日为法 六度无减为实 法除实得半度为火星率 以金九日除火廿七日行十三度半得一度有半为金星率
假如太隂自尾宿初度行三日遇木星于斗牛间又三十日木星行至牛
此太隂三日木星三十日共行四十五度【借尾至牛之度约略其数后仿此】
木星自牛初行三十日与罗防遇于牛女间又一百二十日罗防退至牛
此木星行三十日罗防一百二十日而度等【罗防计都月孛有数无形借逆行之用】
罗防自牛初退行一百日遇土星于箕斗间又五十日土星行至牛
此罗防一百日土星五十日行度等
土星自牛初行三十日火星逐及遇于牛女间又三十日火星行至虚此土星三十日水星三十日而共行十八度
火星自虚初行五十日水星逐及遇于危室间又十日水星行至奎
此火星行五十日水星十日共行四十五度
水星自奎初行十五日逐及金星遇于昴毕间又十七日金星行至毕
此水星十五日金星十七日共行五十五度半
金星自毕初行二十日遇计都于井鬼间又四十日计都退至井此金星二十日计都四十日而金星多二十八日【借毕至井之距为两星之较】
计都自井初逆行二十日遇月孛于参井间又十日月孛行至井
此计都二十日月孛十日而行度等
月孛自井初行八十日太阴逐及遇于井鬼间又二日太阴行至栁
此月孛八十日太隂二日共行三十四度
问各行率若干【凡此所设不必其同日在一度谓之相遇但与宿值或有星可记即如同度之理】如法列位【九色和较之杂】
因九色行中挤廹既多空位取出其行次相对者列而先乗此捷法也
先以甲壬太隂对减【两行相对只三色余俱两空省不书俟重列时以次添入】
用省算法以甲行三之一壬行二之一列之【因甲行可三除壬行可二除而除之则太隂皆一日故除而列之】径对减太隂尽 余木星十日【右】月孛四十日【左】减余二度【左】分正负太隂减去寻原列中乙行有木星径与减余对列
用前法以左乙行三之一与减余列之 木星径同减 罗四十日【左负】孛四十日【右负】负二度【右负】皆无减【以隔行同名仍分正负】
木星减尽寻丙行有罗防径与减余重列
用前法以减余二之一丙行五之一列之 罗防同名径减 余三位无减 以隔行皆负分正负而孛与较同名
罗防减尽寻丁行有土星径对余数
和较列位
用前法以丁行三之一列之而命之为正 土同减尽 余无减 度异并七度 皆左正右负复变和数土星减去寻戊行有火星径对余数
用前法以戊行五之一列之 火径减 水 【左】孛【右】
无减分正负复为较 余二度 【左】与水星同名火星减尽寻已行有水星以对余数【又因巳行不便省算改用辛行月孛相对】
用前法以减余半而列之 孛同减 余俱无减隔行同名仍为较
月孛减尽寻庚行有计都以对余数【水与较度皆右行负同名】
用前法以庚行半而列之
计同减 水【右负】金【左负】无减仍为较
余十三度【左负】与金同名
计都减尽寻巳行恰皆二色以相对
如法乗 水同减尽 金余异倂一百六十七日为法 度异并二百五十○半度为实 法除实得每日一度半为金星率
以巳行金星十七日行二十五度半减共五十五度半余三十度以水星十五日除之得每日二度为水星率
以戊行水星十日行二十度减共四十五度余二十五度以火星五十日除之得毎日半度为火星率
以丁行火星三十日行十五度减共十八度余三度以土星三十日除之得每日十分度之一为土星率
以丙行土星五十日行五度以罗防一百日除之得每日二十分度之一为罗防率
以乙行罗防一百二十日行六度以木星三十日除之得每日五分度之一为木星率
以甲行木星三十日行六度以减共四十五度余三十九度以太隂三日除之得每日十三度为太阴率
再以庚行金星二十日行三十度同减去正二十八度余二度以计都四十日除之得每日二十分度之一为计都率【与罗防同】
以辛行计都二十日行一度以月孛十日除之得每日十分度之一为月孛率
以壬行月孛八十日行八度减共三十四度余二十六度太阴二日除之仍得毎日十三度为太阴率
论曰各星迟疾留逆每叚不同然其各叚中行率大约相等故可以方程立算亦湏稍查时厯以知其变
若太近留叚行率甚微难见其在合伏左右行甚疾毎日不同难与他星相较则以一星迟疾之较取之具如后例
一星迟疾相较例
凡木火土三星虽有迟疾之行大约皆在一度以下而土木之变尤缓其数十日中行率仅差秒忽两星相较之法颇可施用惟金水二星迟疾之差悬逺其疾也有在一度以上而水星有二度其迟也不及一度迟之甚则留故可以其迟疾而自相较也
假如金星疾叚测得甲乙丙三日共行四度二十九分己庚两日共行二度有半问各日行率【此因前测以隂云用仪得其度分而不知宿次故虽后测能知宿次而中数日不可知是惟方程能御之也】
法以和数列所测以较数列中日【因挨日进退故倍中日为前后两日而命之适足盖已知测日同在一叚故也】
如法互乗逓减 余庚廿七日为法 三十三度廿一分为实 法除实得一度廿三分为末日行率【庚】以庚日行率减共二度五十分余一度廿七分为第六日行率【己】 倍己日行率减去庚日行率余一度三十一分为第五日行率【戊】 倍戊日行率减去己日行率余一度三十五分为第四日行率【丁】 倍丁日行率减去戊日行率余一度三十九分为第三日行率【丙】 倍丙日行率减去丁日行率余一度四十三分为次日行率【乙】 倍乙日行率减去丙日行率余一度四十七分为初日行率【甲】
累计甲乙丙日共四度廿九分己庚日共二度半合问或倍庚日行率共二度四十六分以减共二度半余○度○四分为日差以日差累加庚日得各日行率
总论曰凡步五星既得其叚日以为日率则以其盈缩之厯加减星行而得其叚所行之宿次以为度率以日率除度率而得其平行则又以初末日率相求使之陞降有等以为日差而加减之故日差者步五星之要事也
右例不拘日数但在迟疾本叚则可用此法
亦不拘定是宿次所见或仪器所测但有两宗宿度则其余日皆可倍中日以较其前后两日命为正负适足而求之何则其加减皆相挨而有序故知倍中日即同前后两日也
假如金星晨疾测得甲日之寅距地平一度至丙日之卯距地平三十度○七十五分至己日之卯距地平三十度问各日行率
解曰此是甲乙两日共行二度二十五分丙丁戊三日共行三度七十五分也
法以丙日距三十度○七十五分减寅至卯差三十度余○度七十五分与甲日距一度相减余○度二十五分为金星疾行过平行一度之数加甲乙两日太阳行二度是为两日内金星行二度二十五分又以己日距三十度与丙日距度相减余○度七十五分为金星疾于平行之度加丙丁戊三日太阳行三度是为三日金星行三度七十五分
论曰此因隂云不能细测每日之度故五日中仅有三测也或虽无隂云而仪器不具惟此三日有所当宿次可借以为行度之据则所得者皆为前两日后三日之和度也
如法以两和三较列位【因逓差补作三适足而列之】
如法乗减 得丁三日为法 共三度七十五分为实 法除实得一度二十五分为丁日行率【此因末两行减余三色减去二色只一法一实故径用以求也】
以丁减余七日行八度七十五分同减负二度二十五分余六度五十分以戊减余五日除之得一度三十分为戊日行率【此用三四两行减余】
以丁戊两日行率相减余○度○五分为日差以日差减丁日行率得丙日行率累减之得甲乙日行率
计开
甲日行一度十分
乙日行一度十五分
两日共行二度二十五分
丙日行一度二十分
丁日行一度二十五分
戊日行一度三十分
三日共行三度七十五分 合计之五日共行六度 此六度者乃金星行于黄道之度寔数也寔数者以宿度徴之如甲日之晨在某宿某度至己日之晨已进六度也 其距太阳之数则五日共差一度 此一度者乃金星渐近太阳之距亦即渐近于地平之距也目所见也谓之视差则以仪器度而知之如甲日之卯距地平三十一度至己日之晨卯刻则距地平三十度为较前相近一度也 今所测为甲日之寅寅与卯相差三十度故寅之星距地平一度者至卯则距三十一度也其时刻以水漏或中星得之 若寅正与卯初则只差十五度每刻则差三度太此以仪测星者所当知
论曰凡加减日差湏明进退之理如戊日之行率多于丁日则其疾为进也而先得末日则以日差累减之而得初日
若先得初日则当以日差累加之而得末日
如前一例庚日之率少于己日则其疾为退也而先得庚日则以日差累加之而得初日 若先得甲日则当以日差减之而得末日
其迟叚则皆反之 如末日多于初日其迟为退也则减末加初
若初日多于末日其迟为进也则减初加末
论曰凡七政盈缩古今厯术綦详所设立差平差之术尤宻至于太隂迟疾时刻逈异授时立法以三百三十六限更非逓加挨减所能定惟五星既得叚日定星其日差可以循次加减而方程测量之法可施也
又方程测量为草泽不能具仪器而偶有所见设此御之使独见者可以共晓若从事推步则有厯学诸书幸勿以管窥为诮
厯算全书卷四十四