钦定四库全书
厯算全书卷三十四
宣城梅文鼎撰
笔算卷一
列位法
数始于一究于九毕于十十则又复为一矣等而上之为百为千为万乃至兆亿皆得名之为一即皆得名之为二三四五六七八九故必先稽其位而列之并减乘除以此为基非是则算无可施矣法具如后【以一位言之有自一至九之名此如同軰之有长防合上下之位言之有单十百千万之等此如己身而上有高曽祖父己身而下又有子孙云仍故单以下复有畸零之位也】
列位式
万 千 百 十 零
【此姑以五位为式位有多寡皆以零数为根零亦曰单】
假如有数二万四千七百五十九依法列之
二 四 七 五 九
【凡列数以最下小数为单单上有一位共二位即是十数有三位是百有四位是千有五位是万不必更书十百千万等字但稽其有若干位即得之矣】
又如有数四千○九十六依法列之
四 ○ 九 六
【凡数大小相乘中有空者必作○以存其位如此式有千有十有单而无百故于百作○以存其位】
又如有数一万○八百
一 ○ 八 ○ ○
【凡数以单位为根今此数无千无十而并无单故必补作三○以成五位则知首位是一万矣】
又如有数一十二万九千六百
一 二 九 六 ○ ○
【原数四位无空然无十无单故必补作两空以成六位则知首位为十万】
畸零列位式
凡整数自单而陞若畸零数则自单而析故单位者数之根也然整数之陞以十为等自单而十而百而千而万皆一法也【万以上有以十万为亿十亿为兆十兆为京自此而垓而秭壤沟涧正载皆以十而变谓之小数有以万万为亿亿亿为兆兆兆为京以上尽然皆以自乘而变谓之大数今所用者以万万为亿万亿为兆万兆为京以上尽然皆以万而变谓之中数三者不同然其列位皆以十为等故曰一法也】若畸零之式其故多端约而言之亦只二法其一以十为等其一不以十为等而各以其所立之率为等是二法者又各分二类列之各有其法【详后】
其一以十为等分二类
假如钱粮料则毎田一亩该五分九厘八毫六七忽九微三纎四沙八尘九埃二渺一漠
依法列之
○○五九八六七九三四八九二一
两钱分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠
【右式今所通用自两而下以十之一为钱又以钱十之一为分分十之一为厘如是递析为毫为忽以至渺漠皆以十为等】【原科则自分起以至渺漠计十二位今加两○为十四位者乃列位之法也何也分之上有钱钱之上有两两为单数凡列畸零之数必以单数为根始便合总故两数虽空必存其位也】
凡度法以丈为单数则其十之一为尺又十析之为寸为分为厘毫丝忽之属【亦有以尺为单以寸为单者皆如所设】
凡量法以石为单数则其十之一为斗又十析之为升为合为勺之属【亦有以斗为单数者皆如所设命之】法并同上
右法以十为等即以一位为一名如上位是两下一位即是钱此为一类
假如授时厯法毎一平朔二十九日五十三刻零五分九十三秒依法列之
【右式日为单数而以日百析之为刻又百析之为分又百析之为秒故列位时必作防以志之使知日下二位始为单刻由是而分而秒皆隔两位而变其名然仍是以十为等 凡作防必单位如日为单位下又有单刻单分单秒之属】
凡开平方尺有百寸寸有百分其法同上
凡开立方尺有千寸寸有千分则三位而变即隔三位作防以志之法亦同上
右法虽亦皆以十为等而不以一位为一名或隔两位或隔三位前法只寻单位即知其余此法单位之下仍须各寻单位盖前法之分秒只有单而此法分秒各有十有百故必以作防之处知其为单分单秒是与前法微别又为一类也其一不以十为等而各以其所设之率为等亦分二类
假如回囘厯法以六十分为一度六十秒为一分太阳三十日平行二十九度三十四分一十秒作何排列
【右以度为单数下两位为分又下两位为秒故作防志之略同授时然皆以六十而进非以百也其自秒以下为微纎等数凡在授时以百为数者回回之法皆以六十为之是虽不以十为等而所设六十之率钜细同法西洋法亦然】
又如古量有以四升为豆四豆为区四区为釜皆以四为率又如杨子云太以三方统九州二十七部八十一家其递析也皆以三
又如测量家以矩度分十二度每一度又分十二分是又以十二为率也右诸率皆不用十而所用之率屡析不易是为一类
假如物重十六两为一斤二十四铢为一两今有物二斤四两半作何排列
【此以斤为单数斤下二位为两又下二位为铢铢与两皆斤之分秒也故作防志之亦同前法但铢以二十四为率两以十六为率二率不同】
又如厯家以甲子六十为旬周每日十二时又分初正【西厯谓之二十四小时】每各四刻每刻有十五分今依新法筭得辛未年冬至为旬周之第五十日二十二时二刻七分依法列之
【此以日为单数下二位析日为时又下一位析时为刻又下两位析刻为分皆日下之畸零也然时之率二十时刻之率四分之率十五各率不同所当细玩】
右法既不以十为等而所用之率又不齐同是又一类也【此二类不以十分为率而各有其率即通分子母之法也但通分以子母并列又是一法别卷详之】并法
凡数合总法当用并有诸数于此并而合之为一总数又名垜积即珠盘之上法也【数相并则相益而多故亦名加法在钱谷之用则所以稽总撒】
法曰置所有防数几宗各依列位法自上而下对位列之万千百十单各以类从
列讫仍并之自上而下如画卦之法
数满十者进位作号而本位纪其零
纪号式
丨□□□□丅□□□【此古算位也用以别原数便稽核也】
假如有丝八百九十二斤又一千○八十八斤又【三百五十斤 合之若干】
如上式防数三宗依法列位并之
得总数二千三百三十斤
假如有绢四丈五尺六寸又五丈○三寸又八丈五尺合之若干
九减试法
【凡九减之法不论单十百千之位亦不计○位只摢现有之数而合计之先减减数首行八九二合得十九减去二九余一以合次行一八八共得十八减去二九恰尽只余三行三五合成八数纪于右次减总数二三三合得八纪于左 左右相同知其不误】
【第二图先减防数首行四五成九减去余六合次行三成九减去余五合三行八五共十八成二九减尽纪○于右 次以总数一八九成二九减尽纪○于左 左右相同知其无误 或问九减不计上下之位何也曰此防法也凡九减者数不变假如以九减一十则仍余一减二十则仍余二推之百千万亦然故不论位】七减试法
【凡七减与九减不同须论位减实数 第一图先减防数自上而下头一排只有一作一十算合第二排八三得十一共二十一以七减之尽第三排九八五合得二十二以七减之余一作一十合第四排八二得十共得二十以七减之余六纪于右 次减总数亦自上起首位无七有二合第二位作二十三以七减之余二又合第三位作二十三以七减之余二合末位○作二十减二七余六纪于左 左右相同不误】
【第二图先减防数头一排四五八合十七以七减之余三作三十合第一排两个五成十共四十以七减之余五作五十合下六三成九共五十九以七减之余三纪右次减总数首两位十八以七减之余四合第三位○作四十以七减之余五作五十合下位九共五十九以七减之余三纪左左右相同不误】
畸零并法
假如有物十斤四两十二铢又九斤十一两十二铢共若干
答曰二十斤
【铢数并得卄四成一两进位并原数共十六两成斤进位并原数十九斤
共卄斤铢率卄四两率十六不同故以防隔
之凡率不同难用九减七减只以减法
还原其法于总数内减原防数一宗其余一宗必合减余是为无误减法
见后详通分】
假如品官计俸原厯任过三年○九个月今又歴任一年十一个月共若干
答曰共歴任五年○八个月
【先并月得二十再以十二个月成一年进位纪号余八个月次并一年三年加所进一年共五年并得五年○八个月此因月法十二非以满十而进故以防隔之此亦非满十而进不用九减七减只以减法还原】
递加法
假如授时厯歳实【三百六十五日二十四刻二十五分】两次加气策【一十五日二十一刻八十四分三十七秒五十微】共若干
答曰【三百九十五日六十七刻九十三分七十五秒】
此递并法借前总数当防数用之如此则可以层累而加
【前条三百八十○日四十六刻奇是从嵗前冬至算至本年小寒此条三百九十五日六十八刻弱是又算至本年大寒】
截小总法【凡并法头项太多者截分小总则易清乃垜积之防法】
假如河工一十二宗一工【五千○十四工】又【三千三百工】又【八百九十一工】又【二千○九十工】又【九百○九工】又【一千○八十工】又【二千○二十工】又【九十一工】又【六百六十七工】又【四千七百工】又【七百三十工】又【八十二工】问共数
答曰二万一千五百七十四工
法曰【先以河工十二宗任分为三段依法并之各成小总再合各小总依法并之为一大总合问】
【或有极多至百十宗者宜多分小总小总又并为小总末乃并为一大总变繁为简最便覆核】减法
凡数相较法当用减有两数于此以相减则得其大小之较也有全数于此减其所去则得其留余之数也【在钱糓之用则减为开除减余为实在若收受则所减为已完减余为未完其法与并法正相对其用亦相需也】
法曰置原数于右置减数于左依列位法自上而下对位列之【若两数相较则以大数列右以当原数小数列左为减数】乃以两数相较以少减多【原数必多减数必少若原数反少则有转减】减讫列减余之数于左行
凡减自下小数起本位无可减借上位一数化十而减之则于上位作防以为志【还原时即用此防为进位之志或不用防用短直亦同】
假如有库银十万两支放过五万九千五百○三两问存库若干 答曰四万○四百九十七两
【此因数万以下俱空故皆用借十作防之法自最下两位起两位空作防于上位借十两减三存七 支数原无十两因借减之防宜减十两而十两亦空复作防于上位借一百内减一十存九十 支数五百加借防共六百亦作防借一千减六百存四百 支数九千凑借防成一万作防于万位凑原支五万共六万又作防于首位借十万减六万存四万】
还原用并法【即借用本图】从两位起以支放三两并存留七两得十两作防于十两位凑存留九十两成一百两又作防于百位凑支放五百存留四百并得一千作防于千位凑支放九千成一万作防于万位凑支放五万存留四万共成十万作防于首位至此存留支放俱无可辏浄十万两作一十万字于原银位合总无差
递减法
假如有应进贡【貂皮一千五百张收过九百○五张次年补收四百九十五张仍欠若干】答曰【一百张】
【以头一次九百○五张依法减原额一千五百张得减余五百
九十五张为欠数次以补收四百九十五张减欠
数五百九十五张得减余一百张为仍欠数】
因两次递减亦减两次试之
【九 六 七 二 先以原额减余数列右减 □ 减 □ 合收欠减余数列左】
【试 一 试 ○ 次以欠数取减余列右法 □ 法 □ 合续收仍欠减余列左】
还原【倒用前图】以仍欠一百并续收四百九十五得五百九十五合前欠数 又以欠五百九十五并先收九百○五得一千五百合原额 凡递减者亦以递并还原
透支转减法
假如有钱一万五千○三十文陆续支用过一万六千○五十文该有透支若干答曰净多支一千○二十文
此因支数多于原数故以原数转减支数而得透支之数【凡两数相较多寡皆仿此】
还原以多支一千○二十并原钱一万五千○三十
得一万六千○五十合支用数
畸零减法
假如有地丁银三千五百零三两徴完三千二百一十两零三钱五分仍未完若干 答曰二百九十二两六钱五分
还原以已完未完相并得数合额编之数【此原数至两而止因减而有钱与分之数盖以两为单数其钱为两十之一分又为钱十之一皆畸零也】
假如授时厯毎月二节气共三十○日四十三刻六十八分七十五秒经朔二十九日五十三刻○五分九十三秒两数不同是生月闰该若干
答曰月闰九十○刻六十二分八十二秒
太阳节气 此经朔减节气也
太阴经朔 经朔小节气大相减
月闰 之较是为月闰还原以月闰并经朔得总即仍合节气之数
假如品官计俸以三年为满今厯任过一年零七个月该补若干 答曰该补一年零五个月
【此以十二个月为一年故减法不同
先减七个月月位无可减作防于年位借一年为十二月减七存五
次减一年并所借一防共二年以减三年余一年】
还原以己厯一年○七个月补俸一年○五个月相并得三年合总
假如有海濵田一百三十一顷四十亩被潮坍损二顷八十五亩一百五十九步仍余若干
答曰仍存田一百二十八顷五十四亩八十一步解曰【此以百亩成顷二百四十步为亩故列位时须作防别之而减法亦同
先减一百五十九步原数无步作防于亩位借一亩
为二百四十步纪号于原位乃如法减之】
仍存一二□五□○八□
还原以坍损田及仍存田相并得原田数合总右二式畸零之率不同难用九减七减只以并法还原【余详通分】
钱粮四柱法
四柱者旧管新收开除实在也各衙门造册必归四柱则收放可稽在笔算为减并合用盖旧管新收用并法开除用减法其实在则减余也亦有减尽无余者则无实在即于实在项下直注曰无其事件创立前无所承者则无旧管亦有存留不动之项则有旧管而无新收其法并同【如无旧管则注曰旧管无或无新收则亦曰新收无】若所出浮于所入则为透支当用转减之法也【开除本用以减今反将并旧管新收以减开除故曰转减】凡转减者亦当于实在项下注明【如云实在无外多支若干是也】式如后
假如藩库原存地丁银一十二万○三百○三两今于康熙三十年征收一百四十一万○五十五两六钱节次支放过一百二十二万二千○五两六钱问该存留若干答曰三十万○八千三百五十三两
【先用并法得旧管新收共一百五十三万○三百五十八
两六钱再用减法于共数内减去开除一百卄二万二千
○五两六钱得实在存留三十万○八千三百五十三两
以旧管新收共数与开四 除实在并数各依试法】
【四 左右列减余相同知其不误 九减七减并余
四可省一图】
假如仓内原存米四千四百石新收某处解到米五百○三石麦三千六百石奉文支放兵米五千石问实在若干答曰【米支放讫仍缺额九十七石麦实在三千六百石存仓】
麦
【法以旧管新收共米】 旧管 无
【四千九百○三石转】 新收 三六○○
【减开除五千石得缺】 开除 无
【项九十七石】 实在 三六○○
【试法合旧管新收加入缺项而九减七减之纪余于右 又单
用开除一项九减七减纪余于左以左右相同知其无误
凡转减者仿此试之】
假如某镇军饷原存二千一百○三两支放过正月分口粮折银一千八百○九两续于二月有某处解到协济银三千五百两于四月内发过草料银八百九十二两又制造盔甲银用过九百九十九两五钱续准某军门公文发到饷银一千○九十两问今库内现存若干 答曰仍存二千九百九十二两五钱
以上先用并法变六宗为两宗然后相减
若依四柱法则当以协济三千五百两院发一千○九十两另并为新收四千五百九十两
【九 六 七 三】
【试 □ 试 □右试法并以旧管新收并为
一宗而九减之纪余于右以开除实在并为一宗而九减
之纪余于左七减亦然所不同者除实
在减至钱数则旧管新收亦必减至○钱位止然后左右
相较可以无误此七减之要诀所当熟翫】
淮仓销算【邸抄附録为式】
户部题为差委司属官员事查得淮仓监督将任内自康熙廿九年九月初六日起至三十年八月初七日止收放钱粮数目造册具题前来查册开旧管银三万八千一百一两五钱三分零米麦四万五千一百六十九石九斗三升零新收银一万二千一百四十八两九钱九分零米麦一万七千三百六十九石二斗六升零又收过商税等银三万一千六十四两八钱六分零内相符准销银一万八千三百一十五两一钱五分零米麦一千一百一十九石八斗四升零行查催解银三万五百五十四两八钱零米麦一万三千二百五十石八斗二升零存剩银三万二千四百四十五两四钱三分零米麦四万八千一百六十八石五斗三升零将解支欵项开后一解部银一万七千六百二两三钱五分零米一百三石毎石九钱折银九十二两七钱麦一千一十六石八斗四升零每石五钱折银五百八两四钱二分零等语查前项银两已经解到收讫无庸议一给门军口粮银七百一十二两八钱等语查系应给之项无庸议一解河工银五千八百一十三两二钱六分零查未开解交年月日期应令开明报部之日查核一给淮安等卫廿九年分行粮银五千三百两三钱二分零米麦一万三千二百五十石八斗二升零月粮银一万四千七百三十二两九钱查总漕未奏销应俟奏销到日查核一解淮安府银四千七百八两三钱二分零查卄八九两年解府银两尚未动支今何得又行起解应令作速解部一存剩银三万二千四百四十五两四钱三分零米麦四万八千一百六十八石五斗三升零应将此解部米麦存仓备用又收过房田税契银四百二两六分六厘零查前项银两已经解到收讫无庸议者奉
防依议 今以四柱法核之如后
【桉此即原题四柱册也旧管者即四柱之旧管也新收及商税皆新收也准销即除存剩即实在其行查催解银则四柱中原作开作而部不准销改入实在之数也】法【以准销查催共数与旧管新收共数相减即得存剩】
细账
【仍原数不动】
以上并依法合总无讹
外有房田税契银另项附销不在四柱之内
厯算全书卷三十四