《历算全书》卷八

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

钦定四库全书

厯算全书卷八

宣城梅文鼎撰

弧三角举要卷三

斜弧三角形作垂弧説

正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形无正角如平三角之有锐钝形也平三角锐钝二形并以虚线成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正等线立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股法也

斜弧三角用垂弧法

垂弧之法有三其一作垂弧于形内则分本形为两正角形其二作垂弧于形外则补成正角形其三作垂弧于次形

总法曰三角俱锐垂弧在形内一钝二鋭或在形内或在形外【自钝角作垂弧则在形内自锐角作垂弧则在形外】两钝一锐或三角俱钝则用次形其所作垂弧在次形之内之外【次形无钝角垂弧在其内有钝角垂弧在其外若破钝角亦可在内】

第一法垂弧在形内成两正角【内分五支】

设甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙甲丙二边求对边及余两角

法于乙角【在先有乙丙边之端乃不知之角】作垂弧【如乙丁】至甲丙边分甲丙边为两即分本形为两而皆正角【凡垂弧之所到必正角也角不正即非垂弧故所分两角皆正后仿此】　一乙丁丙形此形有丁正角丙角乙丙边为两角一边可求丁丙边【乃丙甲之分】乙丁边【即垂弧】及丁乙丙角【即乙分角】　次乙丁甲形有丁正角甲丁边【甲丙内减丁丙其余丁甲】乙丁边为一角两边可求乙甲边甲角及丁乙甲分角　末以两乙角并之成乙角

或如上图丁甲角端作垂弧至乙丙边分乙丙为两亦同

右一角二边而先有者皆角旁之边为形内垂弧之第一支【此所得分形丁丙边必小于元设边即垂弧在形内而甲为鋭角】

设甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之丙乙边及与角相对之乙甲边求余两角一边

法于不知之乙角【在先有二边之中】作乙丁垂弧分两正角形一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙边边可求乙丁分线及所分丁丙边及丁乙丙分角　次乙甲丁形此形有丁正角有乙丁边有乙甲边可求甲角及丁乙甲分角丁甲边　末以两分角【丁乙丙及丁乙甲】并之成乙角以两分边【丁丙及丁甲】并之成甲丙边

右一角二边而先有对角之边为形内垂弧之第二支

设甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边【在两角之间】求甲角及余边

法于乙角作垂弧分两形并如前【但欲用乙丙边故破乙角存丙角】一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙边可求乙丁边丁丙边丁乙丙分角　次乙丁甲形有乙丁边丁正角丁乙甲分角【原设乙角内减丁乙丙得丁乙甲】可求乙甲边甲角及甲丁边末以甲丁并丁丙得甲丙边

或于丙角作垂弧亦同

若角一钝一鋭即破钝角作垂线其法并同

右二角一边而边在两角之间不与角对为形内垂弧之第三支【此必未知之角为锐角则垂弧在形内】

设甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边【与丙角相对与甲角相连】求乙角及余二边

法于乙角【为未知之角】作垂弧分为两形而皆正角　一乙丁甲形有丁正角甲角乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲分角　次丁乙丙形有丁正角乙丁边丙角可求乙丙边丁丙边丁乙丙分角　末以甲丁丁丙并之成甲丙边　以两分角【丁乙甲丁乙丙】并之成乙角

右二角一边而先有对角之边为形内垂弧之第四支【此先有二角必俱锐则垂弧在内】

设乙甲丙形有三边而内有【乙甲乙丙】二边相同求三角

法从乙角【在相同二边之间】作垂弧至丙甲边【乃不同之一边】分两正角形【其形必相等而甲丙线必两平分】　乙丙丁形有丁正角乙丙边丁丙边【即甲丙之半】可求丙角乙分角【乃乙角之半】倍之成乙角而甲角即同丙角【不须再求】

右三边求角而内有相同之边故可平分是为形内垂弧之第五支【此必乙丙乙甲二边并小在九十度内若九十度外甲丙二角必俱钝当用次形详第三又法】

第二法垂弧在形外补成正角【内分七支】

设甲乙丙形有丙锐角有夹角之两边【乙丙甲丙】求乙甲边及余两角

法自乙角【在先有边之一端】作垂弧【乙丁】于形外引丙甲边至丁补成正角形二【一丙乙丁半虚半实形二甲乙丁虚形】　先算丙乙丁形此形有乙丙边丙角有丁正角可求丙乙丁角【半虚半实】乙丁边【形外垂弧】丁丙边【丙甲引长边】　次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁边甲丁边【丁丙内减内甲得甲丁】可求乙甲边甲角及甲乙丁虚角末以甲角减半周得原设甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角右一角二边角在二边之中而为锐角是为形外垂弧之第一支【此所得丁丙必大于原设边即垂弧在形外而甲为钝角】

设乙甲丙形有甲钝角有角旁之【丙甲乙甲】二边求乙丙边及余二角

法于乙角作垂弧【乙丁】引丙甲至丁补成正角　先算乙丁甲虚形此形有丁正角甲角【即原设甲角减半周之余亦曰外角】有乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲虚角　次丁乙丙形有乙丁边丁丙边【甲丙加丁甲得之】丁正角可求乙丙边丙角丙乙丁角　末于丙乙丁内减丁乙甲虚角得原设乙角

或从丙作垂弧至戊引乙甲边至戊补成正角亦同

右一角二边角在二边之中而为钝角乃形外垂弧之第二支

设乙甲丙形有丙锐角有角旁之乙丙边有对角之乙甲边求丙甲边及余二角

法从乙角作垂弧至丁成正角【亦引丙甲至丁】　先算丙乙丁形有丁正角丙角乙丙边可求诸数【乙丁边丁丙边丙乙丁角】　次丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二边可求诸数【乙甲丁角甲乙丁角甲丁边】　末以所得虚形甲角减半周得原设甲钝角于丙乙丁内减虚乙角得原设乙角于丁丙内减甲丁得原设丙甲

右一角二边角有所对之边而为锐角乃形外垂弧之第三支【此必甲为钝角故垂弧在外】

设乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙丙边求乙甲边及余二角

法于丙角作垂弧至戊补成正角　先算虚形【甲丙戊】有戊正角甲角【甲钝角减半周之余】甲丙边可求诸数【丙戊边甲戊边丙虚角】次虚实合形【乙丙戊】有戊正角丙戊边乙丙边可求原

设乙角及诸数【乙丙戊角乙戊边】　末以先得虚形数减之得原设数【丙角内减丙虚角得原设丙角乙戊内减甲戊虚引边得原设乙甲边】

右一角二边角有所对之边而为钝角乃形外垂弧之第四支【此先得钝角垂线必在外】

设乙甲丙形有丙甲二角【一锐一钝】有丙甲边在两角之中

法于丙锐角作垂弧至丁【在甲钝角外】补成正角　丁丙甲虚形有丁正角甲外角丙甲边可求诸数【丙丁边甲丁边丙虚角】次乙丙丁形【半虚实】有丁正角丙丁边丙角【以丙虚角补原设丙】

【角得丁丙乙角】可求原设乙丙边乙角及乙甲边【求得乙丁边内减虚形之甲丁边得原设甲乙边】

右二角一边边在两角间为形外垂弧之第五支【此亦可于甲钝角作垂弧则在形内法在第一法之第三支】

设乙甲丙形有乙甲二角【乙锐甲钝】有丙甲边与乙锐角相对【钝角相连】

法于丙锐角作垂弧至戊【在丙甲边外】补成正角　甲戊丙虚形有戊正角有丙甲边甲角【原设形之外角】可求诸数【丙戊甲戊二边丙虚角】　次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊边可求丙角【求得乙丙戊角内减丙虚角得元设丙角】乙丙边乙甲边【求到乙戊边内减甲戊得乙甲】右二角一边而边对鋭角为形外垂弧之第六支

设乙甲丙形有乙锐角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对【锐角相连】

法于丙锐角作垂弧至戊【在甲钝角外】补成正角　乙丙戊形有戊正角乙角乙丙边可求诸数【丙戊乙戊二边乙丙戊角】　次甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊边可求原设丙甲边甲乙边【求到戊甲虚边以减乙戊得原设乙甲】丙角【求到丙虚角以减乙丙戊角得原设丙角】

右两角一边而边对钝角为形外垂弧之第七支

第三垂弧又法　用次形【内分九支】

设乙甲丙形有乙丙二角有乙丙边在两角间而两角并钝求余二边及甲角

法引丙甲至己引乙甲至戊各满半周作戊己边与乙丙等而己与戊并乙丙之外角成甲戊己次形依法作垂弧于次形之内【如己丁】分为两形【一己丁戊一己丁甲】可求乙甲边【以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求到甲丁合之成甲戊以减半周即得乙甲】丙甲边【以己丁甲分形求到己甲以减半周即得丙甲】甲角【以己丁甲分形求到甲交角】

右二角一边边在角间而用次形为垂弧又法之第一支

论曰旧説弧三角形以大边为底底旁两角同类垂弧在形内异类垂弧在形外由今考之殆不尽然盖形内垂弧分底弧为两成两正角形所用者锐角也【底旁原有两锐角分两正角形则各有两锐角】形外垂弧补成正角形所用者亦锐角也【底旁原有一锐角补成正角形则虚实两形各有两锐角】故惟三锐角形作垂弧于形内一钝两锐则垂弧或在形内或在形外若两钝一鋭则形内形外俱不可以作垂弧【垂弧虽有内外而其用算时并为一正角两锐角之比例若形有两钝角则虽作垂弧只能成一正一钝一锐之形无比例可求则垂弧为徒设矣】故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得谓之形内然则同类之説止可施于两锐【若两钝虽亦同类而不可于形内作垂弧】异类之説止可施于一钝两锐【若两钝一锐而底弧之旁一钝一锐虽亦异类然不可于形外作垂弧】非通法矣【两钝角不用次形垂弧之法己穷况三钝角乎】

又论曰以垂弧之法征之则大边为底之说理亦未尽盖钝角所对边必大既有形外立垂线垂弧之法则钝角有时在下而所对之边在上矣不知何术能常令大边为防乎此尤易见

设乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边

如法引甲乙丙乙俱满半周防于己成丙甲己次形作己丁垂弧于次形内分次形为两可求乙角【依法求到分形两己角合之为次形己角与乙对角等】甲丙边【求到分形甲丁及丁丙并之即甲丙】乙丙边【求到次形己丙以减半周得之】

右二角一边边与角对而用次形为垂弧又法之第二支此三角俱钝也或乙为鋭角亦同

设乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中

法用甲乙戊次形【有乙甲边有乙戊边为乙丙减半周之余有乙外角】作甲丁垂弧分为两形可求丙甲边及余两角【以乙甲丁分形求到丁乙及甲分角人以甲戊丁形求到甲戊以减半周为丙甲又得甲分角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙对角】右二边一角角在二边之中而用次形为垂弧又法之第三支

或丙为钝角则于次形戊角作垂弧法同上条

设乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角对

法用甲己戊次形【甲己为甲乙减半周之余甲戊为甲丙减半周之余戊角为丙之外角】作垂弧【甲丁】于内分为两形可求丙乙边及余两角【以甲丁戊分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲交角也又得己角即乙外角也】

右二边一角角与边对而用次形为垂弧又法之第四支若甲为钝角亦同

论曰先得丙钝角宜作垂弧于外而乙亦钝角不可作垂弧故用次形

设乙甲丙形有三边内有【乙甲丙甲】二边相同而皆为过弧求三角

法引相同之二边各满半周作弧线聨之成戊甲己次形如法作甲丁垂弧分次形为两【其形相等】可求相同之二角【任以甲丁戊分形求到戊角以减半周得乙角亦即丙角】及甲角【求到甲半角倍之成甲角】右三边求角内有相同两大边为垂弧又法之第五支　若甲为鋭角亦同

以上垂弧并作于次形之内

设乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间

法引乙丙乙甲满半周防于戊成甲戊丙次形自甲作垂弧与丙戊引长弧防于丁补成正角可求乙甲边乙丙边乙角【先求丙甲丁形诸数次求甲戊丁得甲戊以减半周为甲乙又以丁戊减先得丁丙得丙戊以减半周为乙丙又求得戊虚角减半周为戊角即乙对角】

右两钝角一边边在角间而于次形外作垂弧为又法之第六支

或自丙角作垂弧亦同

设乙甲丙形有乙甲二钝角有甲丙边与角对

法引设边成丙戊甲次形【有甲外角有戊钝角为乙对角有丙甲边】如上法作丙丁垂弧引次形边防于丁可求乙丙边【先求甲丁丙形诸数次丙丁戊虚形求到丙戊以减半周为乙丙】乙甲边【先求到丁甲以虚线丁戊减之得戊甲即得乙甲】丙角【先求到甲丙丁角内减丙虚角得丙外角即得元设丙角】

右二角一边边与角对垂弧在次形外为又法之第七支

设乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边【丙乙丙甲】

法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊防于丁可求乙甲边及甲乙二角【先以甲丁丙形求到诸数再以甲丁戊虚形求甲戊即得乙甲又甲虚角减先得甲角成甲外角又戊虚角即乙外角】

右二边一角角在二边之中垂弧在次形外为又法之第八支

设乙甲丙形有甲钝角有一边与角对【乙丙】一边与角连【丙甲】

法用丙戊甲次形自丙作垂弧与甲戊引长边防于丁可求乙甲边及余两角【依法求到甲戊即得乙甲求戊角即乙角以丙虚角减先得丙角即丙外角】

右二边一角角有对边垂弧在次形外为又法之第九支

以上垂弧并作于次形之外

论曰三角俱钝则任以一边为底其两端之角皆同类矣今以次形之法求之而垂弧尚有在次形之外者益可与前论相发也

弧三角举要卷四

弧三角用次形法

次形之用有二

正弧三角斜弧三角并有次形法而其用各有二其一易大形为小形则大边成小边钝角成锐角其一易角爲弧易弧为角则三角可以求边亦二边可求一边

第一正弧三角形易大为小　用次形

如图戊己甲乙半浑圜以【戊丙甲己丙乙】两半周线分为弧三角形四【一戊丙乙二己丙戊三己丙甲并大四乙丙甲为最小】今可尽易为小形一戊丙乙形易为乙甲丙形【戊丙减半周余丙甲又戊乙减半周余乙甲而乙丙为同用之弧则三边之正同也乙丙甲角为戊丙乙外角甲乙丙为戊乙丙外角戊角又同甲角则三角之正同也故算甲丙乙即得戊丙乙】

二己丙戊形易为乙甲丙形【乙甲己及甲己戊并半周内各减己甲则乙甲同己戊而乙丙于己丙及甲丙于戊丙皆半周之余又甲戊并正角丙为交角而乙角又为己角之外角故算乙丙甲得己丙戊】

三己丙甲形易为乙丙甲形【乙甲为己甲减半周之余乙丙为丙己减半周之余而同用甲丙又次形丙角为元形之外角乙角同己角甲同为正角故算乙丙甲得己丙甲】

用法

凡正弧三角内有大边及钝角者皆以次形立算但于得数后以次形之边与角减半周即得元形之大边及钝角【其元形内原有小边及锐角与次形同者径用得数命之不必复减半周】斜弧同以上易大形为小形而大边成小边钝角成鋭角为正弧三角次形之第一用【大边易小钝角易鋭则用算画一算理易明其算例并详第二用】

第二正弧三角形弧角相易　用次形【内分四支】

一乙甲丙形易为丁丙庚次形

解曰丁如北极　戊己壬甲如赤道圈　己庚乙如黄道半周　辛丁壬如极至交圈【壬如夏至辛如冬至】　戊丁甲如所设过极经圈　乙如春分己如秋分并以庚壬大距爲其度　丙如所设某星黄道度　丙乙如黄道距春分度其余丙庚即黄道距夏至为次形之一边　丙甲如黄赤距度其余丙丁即丙在黄道距北极度为次形又一边　庚丁如夏至黄道距北极而为乙角余度是角易为边也【壬庚为乙角度其余庚丁】是为次形之三边

又丙交角如黄道上交角　庚正角如黄道夏至　甲乙如赤道同升度其余壬甲如赤道距夏至即丁角之弧是边易为角也则次形又有三角

用法

假如有丙交角乙春分角而求诸数是三角求边也【乙丙两角幷甲正角而三】法为丙角之正与乙角之余若半径与丙甲之余得丙甲边可求余边

一　丙角正　　　　　　　丙角正

二　乙角余　　　　　　　丙角正

三　半径【甲角　　　在次形】　半径【庚角】

四　甲丙余　　　　　　　丁丙正

右以三角求边也若三边求角反此用之

若先有乙丙边乙甲边而求甲丙边则为乙甲余【即次形丁角正】与乙丙余【即庚丙正】若半径【甲角即次形庚角】与甲丙余【即丁丙正】

或先有乙丙边甲丙边而求乙甲边则为甲丙余【即丁丙正】与乙丙余【即庚丙正】若半径【甲角即庚角】与乙甲余【即丁角正】

或先有乙甲边甲丙边而求乙丙边则为半径【甲角即庚角】与甲丙余【即丁丙正】若乙甲余【即丁角正】与乙丙余【即庚丙正】

右皆以两弧求一弧而不用角也

以上爲乙甲丙形用次形之法本形三边皆小一正角偕两锐角次形亦然所以必用次形者为三角求边之用也是为正弧三角次形第二用之第一支

二己丙甲形【甲正角余二角丙钝己锐丙甲边小余二边并大】易为丁丙庚次形

法曰截己甲于壬截己丙于庚使己壬己庚皆满九十度作壬庚丁象限弧又引丙甲边至丁亦满象限而成丁丙庚次形此形有丁丙边为丙甲之余有庚丙边为己丙之余【凡过弧内去象限其余度正即过弧之余故己丙内减己庚而庚丙为其余弧】有庚丁边为己角之余乃角易为边也【庚与壬皆象限即庚壬为己角之度而丁庚为其余】又有丙锐角爲元形丙钝角之外角有庚正角与元形甲角等【壬庚既为己角之弧则壬与庚必皆正角】有丁角为己甲边之余【己甲过弧以壬甲为余度説见上文】乃边易为角也

用法

假如有甲正角己锐角丙钝角而求丙甲边法为丙钝角之正【即次形丙锐角正盖外角内角正同用也】与己角之余【即次形丁庚边之正】若半径【即次形庚正角之正】与丙甲边之余【即次形丁丙边】

既得丙甲可求己丙边　法为半径与丙角余若甲丙余切【次形为丁丙正切】与己丙余切【次形为庚丙正切】得数以减半周为己丙下同【凡以八线取弧角度者若系大边钝角皆以得数与半周相减命度后仿此】求己甲边　法为己角之余【即庚丁正】与丙角之正若己丙之余【即庚丙正】与己甲之余【即丁角正其弧壬甲】

右三角求边

又如有己甲己丙两大边求丙甲边　法为己甲余【即丁角正】与己丙余【即庚丙正】若半径与丙甲余【即丁丙正】

或有己甲丙甲两边求己丙大边　法为半径与丙甲余【即丁丙正】若己甲余【即丁角正】与己丙余【即庚丙正得数减半周为己丙下同】

或有丙甲己二边求己甲大边　法为丙甲余与半径若己丙余与己甲余【即上法之反理】

右二边求一边

以上己丙甲形用次形之法本形有两大边一钝角次形则边小角锐而且以本形之边易为次形之角本形之角易为次形之边【后二形并同】是为正弧三角次形第二用之第二支

三己丙戊形【戊正角己钝角丙锐角己丙与戊丙并大边】易为丁丙庚次形

法曰以象限截己丙于庚其余庚丙截戊丙于丁其余丁丙为次形之二边作丁庚弧其度为己角之余【己钝角与外锐角同以壬庚之度取正其余丁庚为己外角之余亦即为己钝角之余】角易边也次形又为元形之截形同用丙角又庚正角与戊角等而丁角即己戊边之余度【试引己戊至辛成象限则戊辛等壬甲皆丁角之度而又为己戊之余】边易角也

用法

假如有丙锐角己钝角偕戊正角求戊丙边　法为丙角正与己角余【即庚丁正】若半径与戊丙余【即丁丙正】得数减半周为戊丙【下同】

既得戊丙可求己丙　法为半径与丙角余若戊丙余切【即丁丙正切】与己丙余切【即庚丙正切】

求己戊边　法为戊丙余【即丁丙正】与半径若己丙余【即庚丙正】与己戊余【即丁角正】

以上己丙戊形三角求边为正弧三角次形第二用之第三支

四乙丙戊形【戊正角乙丙并钝角戊乙戊丙并大边乙丙小边】易为丁丙庚次形

法曰引乙丙边至庚满象限得次形丙庚边【即乙丙之余】于丙戊截戊丁象限得次形丁丙边【为戊丙之余】而丁即为戊乙弧之极【戊正角至丁九十度故知之】从丁作弧至庚成次形庚丁边为乙角之余是角易为边也【试引庚丁至辛则辛丁亦象限而辛为正角庚亦正角乙庚乙辛皆象限弧是庚丁辛即乙钝角之弧度内截丁辛象限而丁庚为乙钝角之余度矣】又庚正角与戊等丙为外角丁角为乙戊边之余是边易为角也【乙戊丙截乙辛象限其余戊辛即丁交角之弧】

用法

假如三角求边以丙角正为一率乙角余为二率半径为三率求得戊丙余为四率以得数减半周为戊丙余并同前

以上乙丙戊形三角求边为正弧三角次形第二用之第四支

论曰厯书用次形止有乙甲丙形一例若正角形有钝角及大边者未之及也故特详其法

又论曰依第一用法大边可易为小钝角可易为锐则第二三四支皆可用第一支之法而次形如又次形矣【己丙甲形己丙戊形乙丙戊形皆易为乙甲丙形而乙甲丙又易为丁丙庚是又次形也】

正弧形弧角相易又法　用又次形

甲乙丙正弧三角形易为丁丙庚次形再易为丁戊壬形

法曰依前法引乙丙边甲乙边各满象限至庚至己作庚己弧引长之至丁亦引甲丙防于丁亦各满象限成丁丙庚次形

又引丙庚至辛引丙丁至戊亦满象限作辛戊弧引之至壬亦引庚丁防于壬则辛壬庚壬亦皆象限成丁戊壬又次形此形与甲乙丙形相当

论曰乙丙边易为壬角【乙庚及丙辛皆象限内减同用之丙庚则辛庚即乙丙而辛庚即壬角之弧】乙甲边易为丁角【乙甲之余度己甲即丁交角之弧】是次形之两角即元形之两边也乙角易为丁壬边【丁己及庚壬俱象限内减同用之庚丁则丁壬即己庚而为元形乙角之弧】丙角易为戊壬边【丙交之弧弧辛戊其余为次形戊壬】是次形之两边即元形之两角而次形戊丁边即元形丙甲次形戊角即元形甲角

用法

若原形有三角则次形有戊直角有戊壬丁壬二边可求乙甲边　法为乙角之正【即丁壬正】与半径若丙角之余【即戊壬正】与乙甲之余【即丁角正】

求乙丙边　法为乙角之切线【即丁壬切线】与丙角之余切【即戊壬正切】若半径与丙乙之余【即壬角余】既得两边可求余边

以上又次形三角求边为正弧三角第二用之又法

论曰用次形止一弧一角相易今用又次形则两弧并易为角两角并易为弧故于前四支并峙而为又一法也

第三斜弧三角易大为小　用次形【内分二支】

一甲乙丙二等边形　三角皆钝

如法先引乙丙边成全图又引甲丙甲乙两边出圜周外防于丁又引两边各至圜周【如戊如己】成乙丁丙及戊甲己两小形皆相似而等即各与元形相当而大形易为小形

论曰次形【甲戊甲己】二边为元形边减半周之余则同一正次形【己戊】二角为元形之外角亦同一正【甲乙戊为甲乙丙外角而与次形己角等甲丙己为甲丙乙外角亦与次形戊角等】而次形甲角原与元形为交角戊己边又等乙丙边【戊乙丙及己戊乙并半周各减乙戊则戊己等乙丙】故算小形与大形同法惟于得数后以减半周即得大边及钝角之度【置半周减戊甲得甲丙减己甲亦得甲乙又置半周减己锐角得元形乙钝角减戊鋭角亦得元形丙钝角其交角甲及相等之戊己边只得数便是并不用减】

论曰凡两大圈相交皆半周故丁丙与丁乙亦元形减半周之余又同用乙丙而乙与丙皆外角丁为对角故乙丙丁形与戊甲己次形等边等角而并与元形甲乙丙相当

右二边等形易大为小为斜弧次形第一用之第一支

二甲乙丙三边不等形　角一钝二锐

如法引乙丙作圜又引余二边【甲乙甲丙】至圜周【己戊】得相当次形己甲戊【算戊甲得甲丙算己甲得甲乙算己戊得乙丙】其角亦一钝二锐【算戊钝角得丙锐角算己鋭角得乙钝角而甲交角一算得之】

又戊甲乙形　角一钝二鋭　如法引戊乙作圜又引乙甲至圜周【己】成次形己甲戊与元形相当【算己甲得甲乙算己戊得戊乙又同用戊甲边故相当算甲锐角得甲钝角算戊钝角得戊鋭角算己角即乙角】

又甲己丙形　三角俱钝　如上法引丙己作圜又引丙甲至戊成次形己甲戊与元形相当【元形甲丙与戊甲元形己丙与己戊并减半周之余又同用己甲又丙钝角即戊钝角甲己两锐角并元形之外角】

右三边不等形易大爲小为斜弧次形第一用之第二支

第四斜弧三角形弧角互易　用次形【内分三支】

一乙甲丙形【三角俱钝】易为丑癸寅形【一钝二锐】

法曰引乙甲作圜次引乙丙至酉引甲丙至未并半周次以甲为心作丁辛癸寅弧乙为心作戊丑癸壬弧丙为心作丑子午寅弧三弧交处别成一丑癸寅形与元形相当而元形之角尽易为边边尽易为角

论曰甲角之弧丁辛与次形癸寅等则甲角易为癸寅边【丁癸及辛寅皆象限减同用之辛癸则癸寅同丁辛】乙角之弧己壬与次形丑癸等则乙角易为丑癸边【癸己及丑壬皆象限减同用之癸壬即丑癸同壬己】丙外角之弧午申【引丑午寅至申取亥申与庚子等成午申】与次形寅丑等则丙外角易为寅丑弧【丑午及寅申皆象限各加同用之午寅即午申等丑寅】是元形有三角即次形有三边也　又甲乙边之度易为癸外角【乙己及甲辰皆象限内减同用之甲己则乙甲同己辰为癸外角弧】甲丙边易为寅角【甲辛及丙子皆象限内减同用之丙辛则甲丙等辛子而同为寅角之弧】乙丙边易为丑角【乙壬及午丙皆象限内减同用之丙壬则乙丙等午壬而同为丑角之弧】是元形有三边即次形有三角也

又论曰有此法则三角可以求边【既以三角易为次形之三边再用三边求角法求得次形三角即反为元形之三边　三边求角法详别卷】

又论曰引丙甲出圜外至申亦引庚亥弧出圜外防于申则庚亥与子申并半周内各减子亥即子庚同亥申而子寅既象弧则寅申亦象弧矣以寅申象弧加午寅与以丑午象限【午壬为丑角之弧故丑午亦象限】加午寅必等而申午者丙外角之度丑寅者次形之边也故丙角能为次形之边也

又论曰凡引弧线出圜外者其弧线不离浑圜面幂因平视故为周线所掩稍转其浑形即见之矣但所引出之线原为半周之余见此余线时即当别用一圈为外周而先见者反有所掩如见亥申即不能见子庚故其度分恒必相当亦自然之理也

又论曰依第三用法之第二支丙未酉形及丙未乙形丙酉甲形并可易为甲乙丙则又皆以癸丑寅为又次形矣

右三角俱锐形弧角相易为斜弧次形第二用之第一支

二未丙酉形【三角俱钝】易为丑癸寅形【一钝二锐】

法曰引酉未弧作圜又引两边至圜周【如乙如甲】乃以未为心作丁辛癸寅辰弧以酉为心作戊丑癸壬己弧以丙为心作庚子丑寅午申弧亦引丙甲出圜外防于申三弧相交成丑癸寅形此形与元形相当而角尽易为弧弧尽易为角

论曰未外角之弧丁辛成次形癸寅弧【癸丁及寅辛皆象限内减同用之癸辛则癸寅即丁辛】酉外角之弧壬己成次形丑癸弧【壬丑及癸己皆象限各减癸壬则丑癸即壬己】丙外角之弧申午成次形寅丑弧【准前论庚亥及子申并半周则申亥等子庚而申寅为象限与午丑象限各减午寅即寅丑同申午】　是三角尽易为边也酉未边成癸外角【酉戊及未丁皆象限各减未戊则丁戊即酉未而为癸外角之弧若以丁戊减戊乙己半周其余丁乙己过弧亦即为癸交角之弧】未丙边减半周其余甲丙成寅角【甲辛及子丙皆象限各减辛丙则辛子即甲丙而为寅角之弧】酉丙边减半周其余乙丙成丑角【午丙及壬乙皆象限各减丙壬则壬午即乙丙而为丑角之弧】是三边尽易为角也【寅角丑角并原边减半周则原边即两外角弧与酉未成癸外角等】故三角减半周得次形三边算得次形三角减半周得原设三边

右三角俱钝形弧角相易为斜弧次形第二用之第二支

论曰若所设为乙未丙形则未角易为次形癸寅边【径用丁辛子形内以当癸寅不须言外角】乙外角为丑癸边【亦以己壬当丑癸与用酉外角同理】丙角为丑寅边【径以丙交角之弧甲午当丑寅不言外角】　若所设为甲酉丙形则酉角易为丑癸边【己壬径当丑癸不言外角】甲外角为寅癸边【用丁辛当癸寅即甲外角】丙角为丑寅边【亦申午当丑寅不言外角】

又论曰此皆大边径易次形不必复言又次

三甲乙丙形【一钝角两锐角】易为丑癸寅形

如法引甲乙边作全圜引余二边各满半周又以甲为心作丁壬癸丑辰半周以乙爲心作戊庚辛癸寅亥弧以丙为心作己午子丑寅夘弧三弧线相交成丑癸寅次形与元形相当而角为弧弧爲角

论曰易甲角为次形丑癸边【于癸丁象限减壬癸成丁壬为甲角之弧于丑壬象限亦减壬癸即成癸丑边其数相等】乙外角为次形癸寅边【于癸戊象限减癸辛成辛戊为乙外角之弧于寅辛象限亦减癸辛即成癸寅边其数相等】丙角为次形丑寅边【于丑午象限减丑子成午子为丙角之弧于寅子象限亦减丑子即成丑寅边其数相等】则角尽为边又甲乙边为癸角【于甲丁象限乙戊象限各减乙丁则戊丁等甲乙而癸角角之弧】乙丙边成寅角【于乙辛及子丙两象限各减丙辛则辛子等乙丙而为寅角之弧】甲丙边为丑外角【于甲壬及午丙两象限各减丙壬则午壬等甲丙而为丑外角之弧】则边尽为角

右一钝角两锐角形弧角相易为斜弧次形第二用之第三支

论曰若所设为甲丙酉形【三角俱钝而有两大边】则以甲外角为次形丑癸边酉外角为癸寅边丙外角为丑寅边又以三边为次形三外角【并与第二支未丙酉形三钝角同理】　若所设为丙未酉形乙未丙形【并一钝二锐而有两大边】皆依上法可径易为丑癸寅次形观图自明

甲乙丙形【三边并大三角并钝】易为次形

法以本形三外角之度为次形三边【午己为乙外角之度而与癸壬等丑辛为甲外角之度而与癸寅等申亥为丙外角之度而与寅壬等】以本形三边减半周之余为次形三角【甲乙减半周其余戊乙或子甲而并与辰丁等即癸角之度甲丙减半周其余戊丙而与丑庚等即寅角之度乙丙减半周其余子丙而与午亥等即壬角之度】并同前术论曰此即厯学防通所谓别算一三角其边为此角一百八十度之余者也然惟三钝角或两钝角则然其余则兼用本角之度不皆外角

右三角俱钝形弧角相易同第二支【惟三边俱大】

子戊丙形【一大边二小边一钝角二锐角】

其法亦以次形【癸壬癸寅】二边为本形【子戊】二角之度寅壬边为丙外角之度次形【寅壬】二角为本形二小边之度癸角为大边减半周之度

论曰此所用次形与前同而用外角度者惟丙角其子角戊角只用本度为次形之边非一百八十度之减余也　若设戊丙乙形子丙甲形并同【戊丙乙形惟次形癸寅边为戊外角其余癸壬边之度为乙角寅壬边之度为丙角则皆本度子丙甲形惟次形癸壬边为子外角其余寅壬边之度为丙角癸寅边之度为甲角则皆本度】

右一钝角二锐角与第三支同【惟为边一大一小】

第五斜弧正弧以弧角互易【内分二支】

一甲乙丙形【甲乙边适足九十度余二边一大一小角一钝二锐】易为丑癸寅正弧形【癸正角余锐三边并小】

法曰引乙丙小边成半周【于乙引至夘补成丙乙夘象限又于丙引至午成丙辛午象限即成半周】作夘亥庚丑寅午以丙为心之半周【截丙甲大边于庚使丙庚与丙乙夘等乃作庚夘弧为丙角之度即庚与夘皆正角依此引至午亦得正角而成半周以丙为心】作甲丑癸辛戊以乙为心之半周【引甲乙象限至戊成半周于甲于戊各作正角聨之即又成半周而截乙辛成象限与乙戊等即辛戊为乙外角度而此半周以乙为心】作乙壬癸寅弧以甲为心【甲戊半周折半于癸成两象限从癸作十字正角弧一端至寅一端至乙成癸乙象限其所截甲壬亦象限即乙壬为甲角之弧而甲为其心】三弧线相交成一丑癸寅次形与本形弧角相易而有正角

论曰次形丑寅边即本形丙角之度【丑夘及寅庚皆象限各减丑庚则丑寅即庚夘而为丙角之弧】癸寅边即甲角之度【寅壬及癸乙皆象限各减癸壬则癸寅即壬乙而为甲角之弧】癸丑边即乙外角之度【丑辛及癸戊皆象限各减癸辛则丑癸即辛戊而为乙外角之弧】是角尽易边也又寅角为甲丙边所成【庚丙及壬戊皆象限各减丙壬则寅角之弧庚壬与甲丙减半周之丙戊等】丑角为乙丙边所成【午丙及辛乙皆象限各减辛丙则丑角之弧午辛与乙丙边等】癸正角为甲乙边所成【癸正角内外并九十度而甲乙象限为癸外角弧若减半周则乙戊象限为癸交角弧】是边尽为角而有正角也

又辰戊丙形【辰戊边象限余并同前】易为正弧形【并同前法观图自明】

乙丙戊形【乙戊边足一象限余并小】易为正角形则丑寅度即丙外角丑癸度即乙角寅癸度即戊角是角为边也又寅角生于丙戊丑角生于乙丙癸正角生于乙戊是边为角

辰甲丙形【辰甲象弧余二边大三角并钝】易为正角形则丑寅边为丙外角丑癸边为辰外角寅癸边为甲外角角为边也又寅角生于甲丙丑角生于辰丙而癸正角生于辰甲【并准前条诸论推变】是边为角而且有正角也

右本形有象限弧即次形有正角而斜弧变正弧为弧角互易之第一支

丙乙甲形【丙正角余两锐角相等边三小相等者二】易为己癸壬次形【角一钝二锐锐相等】

法以甲为心作寅己丑半周则甲角之度【子寅弧】成次形一边【己壬】以乙为心作夘己午半周则乙角之度【夘辰弧】成次形又一边【己癸】此所成二边相等以丙为心作亥癸壬未半周则丙角之度【癸壬象限】即为次形第三边　依法平分次形以己壬酉形求壬角得原设甲丙边【壬角之度癸子与甲丙等】乙丙边【壬癸两锐角原同度而癸角之度辰壬与乙丙等故一得兼得也】求半己角倍之成己角以减半周得原设乙甲边【己外角之度午寅或丑夘并与乙甲等】

论曰本形有正角次形无正角而有象限弧得次形之象限弧得本形之正角矣

若设丙戊丁形【丙正角两钝角同度二大边同度一边小】易为己癸壬次形与上同法惟丁戊用外角

若设甲丙戊形【丙正角余一锐一钝而锐角钝角合成半周边二大一小而小边与一大边合成一半周】易为己癸壬次形亦同上法惟甲用外角戊用本角而同度所得次形之边亦同度【甲外角之度子寅成次形巳壬边戊本角乏度辰夘成次形己癸边而四者皆同度】其转求本形也用次形之壬角得甲丙以减半周即得丙戊【或乙丙丁形亦同】

右本形有正角而次形无正角爲弧角互易之第二支

或三角形无相同之边角而有正角【其次形必有象限边】或无正角而有相同之边角【其次形亦有等边等角】准此论之

次形法补遗【角一锐一钝边二大一小】

附算例　三角求边　三边求角

甲乙丙形【甲角一百二十度乙角一百一十度丙角八十五度为一锐二钝】三角求边

如法易为丑寅癸次形【癸寅边六十度当甲角丑癸边七十度当乙角寅丑边当丙角并以角度减半周得之】

求甲乙边【即次形癸外角】法以【甲乙】两角正相乗半径除之得数【八一三八○】为一率半径【一○○○○○】为二率【甲乙】两角相较【十度】之矢与丙角减半周【九十五度】大矢相较得数【一○七一九七】为三率求得四率【一三一七二四】爲次形癸角大矢内减半径成余【三一七二四】捡表得癸外角【七十一度三十分】为甲乙边【本宜求癸角以减半周得甲乙今用省法亦同】

论曰三角求边而用次形实即三边求角也故其求甲乙边实求次形癸角得癸角得甲乙边矣然则两角正仍用本度者何也凡减半周之余度与其本度同一正也【甲角一百二十度之正八六六○三即次形癸寅边六十度之正乙角一百一十度之正九三九六九即次形丑癸边七十度正】独丙角用余度大矢何也正可同用而矢不可以同用也【丙以外角易为次形丑寅边九十五度其大矢一○八七一六而丙角本八十五度是锐角当用正矢故不可以通用】然则两角较矢又何以仍用本度曰两余度之较与本度同故也【甲角乙角之较十度所易次形之癸寅边丑癸边其较亦十度】所得四率为大矢而甲乙边小何也曰余度故也【甲乙边易为癸外角而四率所得者癸内角也故为甲乙减半周之余度】用余度宜减半周命度矣今何以不减曰省算也虽不减犹之减矣【四率系大矢必先得癸外角七十一度半以减半周得癸内角一百○八度半再以癸内角减半周仍得七十一度半为甲乙边今径以先得癸外角之度为甲乙边其理无二】

求甲丙边　如上法以边左右两角正【甲八六六○三丙九九六一九】相乘半径除之得数【八六二七三】为一率半径【一○○○○○】为二率【甲丙】两角相较【三十五度】矢【一八○八五】与乙外角【七十度】矢【六五七九八】相较得数【四七七一三】为三率求得甲丙边半周余度之矢【五五三○四】为四率【捡表得六十三度二十七分】以减半周得甲丙边【一百一十六度三十三分】

论曰此亦用次形三边求寅角也【以甲角所易癸寅边丙角所易寅丑边为角旁二边以乙角所易丑癸边为对角之边求得寅角之度辛子与酉丙等即甲丙减半周余度】求乙丙边　如法以边左右两角正【丙九九六一九乙九三九六九】相乘半径除之得数【九三六一二】爲一率半径【一○○○○○】为二率【丙乙】两角较【二十五度】矢【○九三六九】与甲外角【六十度】矢相较【四○六三一】爲三率求得余度矢【四三四○三】为四率【捡表得五十五度三十二分】以减半周得乙丙边【一百廿四度廿八分】

论曰此用次形三边求丑角也【丙角易寅丑边乙角易丑癸边为角旁二边甲角易癸寅为对边求得丑角度午壬与未丙等即乙丙边减半周余度】又论曰此所用次形之三边三角皆本形减半周之余度【甲乙同己辰即癸外角度则次形癸角为甲乙边之半周余度也寅角之度子辛与酉丙等甲丙边之余度也丑角之度午壬与未丙等乙丙边之余度也是次形三角皆本形三边减半周之余度矣其次形三边爲本形三角减半周之余己详前注】故所得四率为角之大小矢者皆必减半周然后可以命度若他形则不尽然必须详审

如甲未丙形【甲角六十度丙角九十五未角一百一十】易丑寅癸次形则其角易为边用本度者二【甲角弧丁辛六十度易次形癸寅边丙角弧申午九十五度易次形寅丑边】用余度者一【未角弧壬戊一百一十度其半周余度己壬七十度易次形丑癸边】而其边易为角用本度者二【未丙边五十五度三十二分与午壬等成次形丑角甲未边余度未酉七十一度三十分与丁戊等成癸外角则次形癸角一百○八度三十分为甲未边本度】用余者者一【甲丙边一百十六度三十三分其余度酉丙六十三度二十七分与辛子等成次形寅角】若一槩用余度算次岂不大谬

又如乙丙酉形【乙角七○丙角九五酉角一二○】用【癸寅丑】次形【前图】求丙酉边

如法以边左右两角正【丙九九六一九酉八六六○三】相乗去末五位得数【八六二七三】为一率半径【一○○○○○】为二率以【酉外角丙角】相差【三十五度】矢【一八○八五】与乙角矢【六五七九八】相较【四七七一三】爲三率求得正矢【五五三○四】为四率【次形寅角之矢】捡表得六十三度二十七分为丙酉边

论曰此所用四率与前条求甲丙边之数同而边之大小迥异一为余度一为本度也【前条为余度之矢故甲丙边大此条为本度之矢故丙酉边小】又所用矢较亦以不同而成其同【前条以两角相差此则以酉外角与丙角相差不同也而相差三十五度则同前条用乙外角之矢此条用乙本角又不同也而矢数六五七九八则同】其理皆出次形也

求酉乙边　如法以两角正【乙九三九六九酉八六六○三】相乗去末五位【得八一三八○】为一率半径为二率【酉外角乙角】相差【十度】之矢与丙角【九十五度】之矢相较【得一○六一九七】为三率求得大矢【次形癸角之矢】为四率【一三一七二四】捡表【得一百○八度三十分】为酉乙边【此与前条求甲乙边参防即见次形用法不同之理如前所论】

求乙丙边　与前条同法【因丙乙两内角之正及差度并与两外角同而酉角又同甲角故也】

论曰三角求边必用次形而次形之用数得数并有用求度余度之异即此数条可知其槩

又论曰在本形为三角求边者在次形为三边求角故此数条即三边求角之例也【余详环中黍尺】

垂弧捷法【作垂弧而不用其数故称捷法】　亦为次形双法【用两次形故称双法】设亥甲丁形有甲亥边亥丁边亥角【在二边之中】求甲丁边【对角之边】

本法作垂弧分两形先求甲已边次求亥已边分丁巳边再用甲巳丁巳二边求甲丁边

今捷法不求甲已边但求亥已边分丁已边即用两分形之两次形以径得甲丁

一　亥已余　即次形亥戊正

二　亥甲余　即次形亥丙正

三　已丁余　即次形辛丁正

四　甲丁余　即次形庚丁正

法引甲亥边至丙引甲丁边至庚引甲已垂弧至乙皆满象限又引分形边亥已至戊引丁已至辛亦满象限末作辛庚乙丙戊半周与亥已遇于戊与丁已遇于辛成亥丙戊次形与甲已亥分形相当丁亥辛次形与甲已丁分形相当而此两次形又自相当【戊角辛角同以己乙为其度则两角等丙与庚又同为正角则其正之比例皆等】

论曰半径与戊角之正若戊亥之正与亥丙之正又半径与辛角【即戊角】之正若辛丁之正与丁庚之正合之则戊亥正与亥丙正亦若辛丁正与丁庚正

又论曰辛丁已亥戊如黄道半周辛庚乙丙戊如赤道半周甲如北极辛如春分戊如秋分已乙如黄赤大距即夏至之纬乃二分同用之角度【即戊角辛角之度】亥丙及丁庚皆赤纬甲亥及甲丁皆距北极之度【即赤纬之度】

一　戊亥正　黄经　　戊亥为未到秋分之度辛二　亥丙正　赤纬　　丁为已过春分之度似有三　辛丁正　黄经　　不同而二分之角度既同四　丁庚正　赤纬　　故其比例等

一　亥已余　　即亥戊正

二　亥甲余　　即亥丙正

三　已丁余　　即戊丁正

四　甲丁余　　即庚丁正

论曰此理在前论中盖以同用戊角故比例同也又论曰乙庚丙戊如赤道已丁亥戊如黄道皆象弧戊角如秋分其弧己乙如夏至距纬【此两黄经并在夏至后秋分前其理易见】或先有者是丁钝角甲丁丁亥二边则先求丁巳线【亦用前图】一　丁已余　　即戊丁正

二　甲丁余　　即丁庚正

三　亥已余　　即亥戊正

四　亥甲余　　即亥丙正

又论曰假如星在甲求其黄赤经纬则亥丁如两极之距亥角若为黄经则丁角为赤经而亥甲黄纬丁甲赤纬也若丁角为黄经则亥角为赤经而丁甲黄纬亥甲赤纬也【弧三角之理随处可施故举此以发其例】

弧三角举要卷五

八线相当法引

弧三角有以相当立法者何也以四率皆八线也弧三角四率何以皆八线而不用他线【八线但论度他线则有丈尺】浑体故也【弧三角皆在浑员之面】浑体异平而御浑者必以平是故八线之数生于平员而八线之用专于浑员也曷言乎专为浑员曰平三角之角之边皆直线也同在一平面而可以相为比例故虽用八线而四率中必兼他线焉【以八线例他线则用角可以求边以他线例八线则用边可以求角皆兼用两种线】弧三角之角之边皆弧度曲线也不同在平面故非八线不能为比例而四率中无他线焉既皆以八线相比例则同宗半径【有角之八线有边之八线各角各边俱非平面而可以相求者同一半径也】相当互视之法所由以立也错举似纷实则有条不紊故爲论列使有伦次云

八线相当法详衍

总曰相当分之则有二曰相当曰互视互视又分为二曰本弧曰两弧

但曰相当者皆本弧也又分为二曰三率连比例者以全数为中率也其目有三曰四率断比例者中有全数也其目有六凡相当之目九

互视者亦相当也皆爲断比例而不用全数若以四率之一与四相乗二与三相乗则皆与全数之自乗等也本弧之互视其目有三两弧之互视其目有九凡互

视之目十二

总名之皆曰相当其目共二十一内三率连比例三更之则六四率断比例十有八更之反之错而综之则百四十有四共百有五十

相当共九

一曰正与全数若全数与余割

二曰余与全数若全数与正割

三曰正切与全数若全数与余切

以上三法皆本弧皆三率连比例而以全数为中率

四曰正与余若全数与余切

五曰余与正若全数与正切

六曰正割与正切若全数与正

七曰余割与余切若全数与余

八曰正割与余割若全数与余切

九曰余割与正割若全数与正切

以上六法亦皆本法而皆四率断比例四率之内有一率为全数

互视共十二

一曰正与正切若余切与余割

二曰余与余切若正切与正割

三曰正与余若正割与余割

以上三法亦皆本弧皆四率断比例而不用全数然以四率之一与四二与三相乗则其两矩内形皆各与全数自乗之方形等

四曰此弧之正与他弧正若他弧之余割与此弧余割五曰此弧之正与他弧余若他弧之正割与此弧余割六曰此弧之正与他弧正切若他弧之余切与此弧余割七曰此弧之余与他弧余若他弧之正割与此弧正割八曰此弧之余与他弧正若他弧之余割与此弧正割九曰此弧之余与他弧余切若他弧之正切与此弧正割十曰此弧之正切与他弧正切若他弧之余切与此弧余切十一曰此弧之正切与他弧正若他弧之余割与此弧余切十二曰此弧之正切与他弧余若他弧之正割与此弧余切以上九法皆两弧相当率也其爲四率断比例而不用全数则同若以四率之一与四二与三相乗其矩内形亦各与全数自乗之方形等

相当法错综之理

此三率连比例也首率与中率之比例若中率与末率故以首率末率相乗即与中率自乗之积等

假如三十度之正【○五○○○○】与全数【一○○○○○】之比例若全数【一○○○○○】与三十度之余割【二○○○○○】其比例皆为加例也更之则余割【二○○○○○】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与正【○五○○○○】其比例为折半也

又如三十度之余【○八六六○三】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与三十度之正割【一一五四七○】更之则正割【一一五四七○】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与余【○八六六○三】也

又如三十度之正切【○五七七三五】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与三十度之余切【一七三二○五】更之则余切【一七三二○五】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与正切【○五七七三五】也

用法

凡三率连比例有当用首率与中率者改为中率与末率假如有四率其一三十度正其二全数改用全数为一率三十度余割为二率其比例同

凡四率之前后两率矩内形与中两率矩形等故一与四二与三可互居也

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷八>

右四率断比例也一率与二率之比例若三率与四率假如三十度之正【○五○○○○】与其余【○八六六○三】若全数【一○○○○○】与其余切【一七三二○五】更之则余切【一七三二○五】与全数【一○○○○○】若余【○八六六○三】与正【○五○○○○】也【第四法】又如三十度之正割【一一五四七○】与其正切【○五七七三○】若全数【一○○○○○】与其正【○五○○○○】更之则全数【一○○○○○】与正割【一一五四七○】若正【○五○○○○】与正切【○五七七三五】也【第六法】又如三十度之余割【二○○○○○】与其正割【一一五四七○】若全数【一○○○○○】与其正切【○五七七三五】更之则正切【○五七七三五】与正割【一一五四七○】若全数【一○○○○○】与余割【二○○○○○】也【第九法余仿此】用法

凡四率断比例当用前两率者可以后两率代之假如有四率其一正其二余改用全数为一率余切为二率其比例同互视

此本弧中互相视之率也其第一与第四相乗矩第二与第三相乗矩皆与全数自乗方等故其边为互相视之边而相与爲比例皆等

假如三十度之正【○五○○○○】与其余割【二○○○○○】相乗【一○○○○○○○○○○】其余【○八六六○三】与其正割【一一五四七○】相乗【一○○○○○○○○弱】皆与全数自乗之方等故以正为一率余为二率正割为三率余割为四率则正【○五○○○○】与余【○八六六○三】若正割【一一五四七○】与余割【二○○○○○】也【第三法】又如三十度之正切【○五七七三五】与其余切【一七三二○五】相乗【一○○○○○○○○弱】亦与全数之方等故以正为一率余切为二率正切为三率余割为四率则正【○五○○○○】与正切【○五七七三五】若余切【一七三二○五】与余割【二○○○○○】也【第一法】或以余为一率余切爲二率正切为三率正割为四率则余【○八六六○三】与余切【一七三二○五】若正切【○五七七三五】与正割【一一五四七○】也【第二法】

用法

此亦四法断比例故当用前两率者可以后两率代之假如有四率当以正与正切为一率二率者改用余切为一率余割为二率以乗除之其比例亦同余仿此本弧诸线相当约法

其一为与股之比例　　反之则如股与全　正割　余切　余割　全　　余　正切　正正　正切　余　全　余割　余切　正割　全其二为与句之比例　　　反之则如句与全　　余割　正切　正割　全　　正　余切　余余　余切　正　全　正割　正切　余割　全其三为句与股之比例　　　反之则如股与句全　　余　余割　余切　全　　正割　正　正切正切　正　正割　全　　余切　余割　余　全右括本弧七十八法

如图甲丙甲乙甲丁皆半径全数乙丙为正弧乙丁为余弧乙戊为正庚丙为正切线庚甲为正割线乙己为余辛丁为余切线辛甲为余割线

此皆一定比例观图自明

外有余切余非与股之比例则借第二比例更之

一　甲乙全数【即甲丁】　　辛丁余切

四　辛丁余切　　　　甲丁全数

全数与余若余割与余切更之而余切与余若余割与全数也余割与全数既为与股则余切与余亦如与股矣

正切正非与句之比例则借第一比例更之一　甲乙全数【即甲丙】　　庚丙正切

四　庚丙正切　　　　甲丙全数

全数与正若正割与正切更之而正切与正若正割与全数也正割与全数既为与句则正切与正亦如与句矣

余割正割非句与股之比例则仍借第一比例更之

一　余割辛甲　　　　余割辛甲

二　全数甲丁【即甲丙】　　正割庚甲

三　正割庚甲　　　　全数甲丙

四　正切庚丙　　　　正切庚丙

余割与全数若正割与正切更之而余割与正割若全数与正切也全数与正切既爲句与股则余割与正割亦如句与股矣

【互视自此而分以前为本弧所用共大法三更之则二十有四合相当法则七十有八而总以三率连比例三大法为根】

【以后为两弧所用共大法九更之七十有二而仍以本弧之三率连比例为根】

九法

十二法

【以上大法三更之二十有四是以本弧之正切余切与他弧互视】

此皆两弧中互相视之率也本弧有两率相乗矩与全数之方等他弧亦有两率相乗矩与前数之方等则此四率为互相视之边互相视者此有一率赢于彼之一率若干倍则此之又一率必朒于彼之又一率亦若干倍而其比例皆相等故以此弧之两率为一与四则以他弧之两率为二与三

假如有角三十度边四十度此两弧也角之正【○五○○○○】与其余割【二○○○○○】相乗【一○○○○○○○○○】与全数自乗等边之正【○六四二七九】与其余割【一五五五七二】相乗【一○○○○○○○○弱】亦与全数自乗等则此四率为互相视之边互相视者言角之正【○五○○○○】与边之正【○六四二七九】若边之余割【一五五五七二】与角之余割【二○○○○○】也【第四法】

又如有二边大边五十度小边三十度大边之正【○七六六○四】余割【一三○五四一】相乗与全数自乗等小边之正切【○五七七三五】余切【一七三二○五】相乗亦与全数自乗等则此四者互相视互相视者言大边之正【○七六六○四】与小边之正切【○五七七三五】若小边之余切【一七三二○五】与大边之余割【一三○五四一】也【第六法】

又如有两角甲角三十度乙角五十度此亦两弧也甲角之正切【○五七七三五】余切【一七三二○五】相乗与全数自乗等乙角之正切【一一九一七五】余切【○八三九一○】相乗亦与全数自乘等则此　率为互相视之边互相视者言甲角之正切【○五七七三五】与乙角之正切【一一九一七五】若乙角之余切【○八三九一○】与甲角之余切【一七三二○五】也【第十法】

用法

假如别有四率以五十度正为第一三十度正切为第二今改用三十度余切第一五十度余割第二其比例同

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷八>如图壬丙爲本弧乙丙为他弧他弧小于本弧而并在半象限以内

本弧【正壬癸　余壬丑　正切庚丙余割未甲　正割庚甲　余切未丁】

他弧【正乙戊　余乙巳　正切辛丙余割酉申　正割辛甲　余切酉丁】

论曰甲丙甲丁皆半径乃本弧他弧所共也半径自乗之方幂为甲丙夘丁而本弧中以正乗余割以余乗正割以正切乗余切所作矩形既各与半径方幂等则他弧亦然故可以互相视而成相当之率

如上图壬丙本弧在半象限内巳丙他弧在半象限外亦同

如上图壬丙本弧小于乙丙他弧而并在半象限外并同

厯算全书卷八

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

小引

环中黍尺者所以明平仪弧角正形乃天外观天之法而浑天之画影也天圜而动无晷刻停而六合以内经纬厯然亘万古而不变此即常静之体也人惟囿于其中不惟常动者不能得其端倪即常静之体所为经纬厯然者亦无能拟诸形容惟置身天外以平观大圜之立体则周天三百六十经纬之度擘划分明皆能变浑体为平面而写诸片楮按度攷之若以玻璃水晶通明之质琢成浑象而陈之几案也又若有镂空玲珑之浑仪取影于烛而惟肖也故可以算法证仪亦可以量法代算可以独喻可以众晓平仪弧角之用斯其妙矣庚辰中秋鼎偶霑寒疾诸务屏絶展转牀褥间斗室虚明心闲无寄秋光入户秋夜弥长平时测算之绪来我胸臆积思所通引伸触类乃知厯书中斜弧三角矢线加减之图特以推明算理故为斜望之形其弧线与平面相离聊足以彷佛意象啓人疑悟而不可以实度比量固不如平仪之经纬皆为实度弧角悉归正形可以算即可以量为的确而简易也病间録枕上之所得輙成小帙然思之所引无方而笔之所追未能什一庶存大致竢同志之讲求耳【此第一卷原序也余详目録】

康熈三十有九年重九前七日勿庵力疾书时年六十有八